第四章 随机向量 精简版

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§4.4 随机向量的数字特征

一、二维随机变量函数的数学期望

定理：
设\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\)，\(i,j=1,2,\cdots\)，\(Z=g(X,Y)\)是\((X,Y)\)的函数，则：

\[E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij} \]

\(二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为f(x, y), 则Z=g(X, Y)的数学期望\)

\[E(Z)=\iint_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy \]

$定理4.9（数学期望性质的推广）设随机变量X_1, X_2, ⋯, X_n, $

1）若\(Y=\sum_{i=1}^n k_iX_i+c\), 其中\(k_i(i=1, 2, \cdots, n)\), c是常数, 则

\[E(Y)=\sum_{i=1}^n k_iE(X_i)+c \]

特别地, \(E(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n E(X_i)\)；

（2）当随机变量\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)相互独立时,

\[E(X_1X_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n) \]

二、协方差及相关系数

定义（协方差）：
设\((X,Y)\)是二维随机变量，称

\[Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] \]

为随机变量\(X\)和\(Y\)的协方差。

定理：

\[Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \]

性质：
1.各种交换和叠加和分常数
2. 若\(X\)和\(Y\)独立，则\(Cov(X,Y)=0\)

定义（相关系数）：
设\((X,Y)\)是二维随机变量，且\(Var(X)>0\)，\(Var(Y)>0\)，则称

\[Corr_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}} \]

为随机变量\(X\)和\(Y\)的相关系数。

定理：
\(若随机变量X与Y相互独立, 且Cov(X, Y)存在时, 则X与Y不相关, 反之则不然.\)
\(该定理的逆否命题成立, 即若X与Y相关, 则X与Y一定不独立.\)

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