§4.4随机向量的数字特征一、二维随机变量函数的数学期望定理：设\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\)，\(i,j=1,2,\cdots\)，\(Z=g(X,Y)\)是\((X,Y)\)的函数，则：\[E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}\]\(二维连续

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区间推平，区间查询循环节题意给定一个字符串\(s\),请你支持两种操作：\(1,l,r,c\)：将\([l,r]\)之间的字符改为\(c\)。\(2,l,r,d\)：询问\([l,r]\)之间是否有长度为\(d\)的循环节，有输出YES，否则输出NO。思路使用线段树维护区间哈希值，区间推平使用等比数列计算。

np.random.multivariate_normal是NumPy中生成多元正态分布随机样本的函数。它允许我们指定多个维度（变量）的均值和协方差矩阵，从而生成符合这些参数的随机样本。这个函数常用于模拟多维数据，特别是需要考虑变量间相关性的场景，比如机器学习中的数据生成。函数语法np.random.

主成分分析(PCA)-MATLAB&Simulink-MathWorks中国构建相关系数矩阵或协方差矩阵两个变量的协方差\(cov(x,y)=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}\)协方差矩阵\(C=\begin{bmatrix}cov(x,x)&cov(x,y)\\cov(x,y)&cov(y,y)\end{bmatrix}\)

数据清理缺失值处理常见方法分为三类：数据删除，数据插补，不处理数据插补：最为常见的是数据插补。插补方法取均值/中位数/众数插补使用固定值（政府等发布的可信数值）最近邻插补（根据相近数值取平均或者时间序列预测缺失数据）回归分析（工作量大）插值法（高端，可以使用）

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函数求导方差&协方差矩阵基本概念方差（Variance）衡量的是单个随机变量的变化(比如一个人在群体中的身高)，概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。标准差（StandardDeviation）是方差的算术平方根，用σ表示。标准差能反映一个数据集的离散程度。协方

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（T1）lnsyoj2208逆流而上/P10737[SEERC2020]ReverseGame考虑到失败时字符串应为前面都是0，后面都是1(例如"0000001111111")所以可以将原串的逆序对数求出，记为m，对于每个可翻转的串进行分类讨论:1."10"->"01"可以将原串的逆序对减1。2."100"->"001""110"->"011

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1.DesignofmolecularswitchandNOTlogicgate分子开关和非逻辑门的设计作者设计了两个基于DNA的链位移反应，以模拟两个半导体器件(图1a和b)。作为开关信号的A1和A0分别定义为输入1和输入0。A1是特异性的SARS-CoV-2序列。A0是特定的SARS-CoV-2β变体(B.1.351)序列。每个MS

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importseabornassnsimportnumpyasnpimportpandasaspdimportmatplotlibasmplimportmatplotlib.pyplotasplt%matplotlibinlinex=np.random.normal(size=100)print(x)[0.22404072-1.9394295-0.32313598-0.25468579-0.719277940.66163234

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处理图像一张\((H,W)\)大小的图像可以按像素点展开为\((1,HW)\)大小数组.我们将训练集中所有图像展开到一个\((N,HW)\)大小的数组中;然后求一个\((1,HW)\)大小的平均脸参考代码:#Supposeimgsisa(N,W,H)nparrayimg2D=imgs.reshape(imgs.shape[0],-1)

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\[方差:D(x)=E\{[x-E(x)]^2\}=E(x^2)-E(x)^2\LongrightarrowE(x^2)=D(x)-E(x)^2\\协方差:Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)\\相关系数:\rho_{xy}=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt[