标签：infty frac 展开式 sum 极限 cdots limit 2n

The Limit

两个重要极限

\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1 \]

\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \]

间断点

1.第一类间断点

第一类间断点是指在该点附近的函数值存在，但在该点的极限不存在。具体来说，若 $ f(x) $ 在 $ x = c $ 附近的左极限和右极限都存在，但不相等，即：

\[ \lim_{x \to c^-} f(x) \neq \lim_{x \to c^+} f(x) \]

此时，函数在 $ x = c $ 处的值可以是有限的或无穷大。
2.第二类间断点

第二类间断点则是指在该点的极限不存在，且至少有一个方向的极限也不存在。即:

\[\lim_{x \to c} f(x) 不存在 \]

连续性

可导一定连续，连续不一定导数

$y=f|x|$在$x=0$处不可导
由连续可知

\[ \lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x) \]

$f(x)$在区间$[a,b]$连续，$f(x)_min<=f(x)<=f(x)_max$

题型与解法

一些小技巧

利用四则运算，分开算极限
分子或者分母有理化
因式分解
常见的函数的性质:奇偶性
换元法：三角换元，取倒数

取倒数

对于一些$x\to \infty$的情况，我们可以令$t=\frac{1}{x}$
则$t\to 0$转为我们比较熟悉的极限求解
例如

\[\displaystyle\lim_{x\to\infty}xsin\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=e \]

取指数

对于$\forall x>0 ,x=e^{\ln x}$，同理

\[\lim u(x)^{v(x)}=\lim e^{v(x)\ln u(x)} \]

通过这样的操作，将指数分出，在求极限时可以有更多的变化

泰勒展开

等价无穷小

等价无穷小其实就是泰勒展开的特殊情况

在求极限使用时，只有式子的因子可以这样的用，如果直接当成加减法使用，答案会不正确，因为还有更小的没有考虑到
泰勒展开

指数函数 $e^{x}$：

展开式为 $e^{x}=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^{n}=1 + x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots$，$x\in(-\infty,+\infty)$。

正弦函数 $\sin x$：

展开式为 $\sin x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}=x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}+\cdots$，$x\in(-\infty,+\infty)$。

余弦函数 $\cos x$：

展开式为 $\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$，$x\in(-\infty,+\infty)$。

自然对数函数 $\ln(1 + x)$：

展开式为 $\ln (1+x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n + 1}=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n + 1}+\cdots$，$x\in(-1,1]$。

函数 $\frac{1}{1 - x}$：

展开式为 $\frac{1}{1 - x}=\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}=1 + x + x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots$，$x\in(-1,1)$。

函数 $\frac{1}{1 + x}$：

展开式为 $\frac{1}{1 + x}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=1 - x + x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\cdots$，$x\in(-1,1)$。

函数 $(1 + x)^{\alpha}$：
- 展开式为 $(1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots$，$x\in(-1,1)$。

反正切函数 $\arctan x$：

展开式为 $\arctan x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}+\cdots$，$x\in[-1,1]$。

反正弦函数 $\arcsin x$：

展开式为 $\arcsin x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1}=x+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{3}+\frac{5}{112}x^{7}+\frac{35}{1152}x^{9}+\cdots+\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1}+\cdots$，$x\in(-1,1)$。

正切函数 $\tan x$：

展开式为 $\tan x=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^{n}(1 - 4^{n})}{(2n)!}x^{2n - 1}=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925}x^{11}+\cdots$，$x\in(-1,1)$。

正割函数 $\sec x$：

展开式为 $\sec x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{61}{720}x^{6}+\cdots$，$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。

余割函数 $\csc x$：

展开式为 $\csc x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1}2(2^{2n - 1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120}x^{3}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440}x^{9}+\frac{1414477}{65383718400}x^{11}+\cdots$，$x\in(0,\pi)$。

余切函数 $\cot x$：

展开式为 $\cot x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945}x^{5}-\cdots$，$x\in(0,\pi)$。

双曲正弦函数 $\sinh x$：

展开式为 $\sinh x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}+\cdots$，$x\in(-\infty,+\infty)$。

双曲余弦函数 $\cosh x$：

展开式为 $\cosh x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$，$x\in(-\infty,+\infty)$。

双曲正切函数 $\tanh x$：

展开式为 $\tanh x=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n - 1}}{(2n)!}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}-\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}-\frac{1382}{155925}x^{11}+\cdots$，$\vert x\vert\lt\frac{\pi}{2}$。

双曲正割函数 $\operatorname{sech} x$：

展开式为 $\operatorname{sech} x=\sum_{n = 0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)}=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}-\frac{5}{112}x^{7}+\frac{35}{1152}x^{9}-\cdots+\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)}+\cdots$，$\vert x\vert\lt1$。

反双曲正弦函数 $\operatorname{arcsinh} x$：

展开式为 $\operatorname{arcsinh} x=\ln 2x-\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{-2n}}{2n}=\ln 2x-\left(\frac{1}{4}x^{-2}+\frac{3}{32}x^{-4}+\frac{15}{288}x^{-6}+\cdots+\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{-2n}}{2n}+\cdots\right)$，$\vert x\vert\gt1$。

反双曲正切函数 $\operatorname{arctanh} x$：

展开式为 $\operatorname{arctanh} x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}+\cdots$，$\vert x\vert\lt1$。

其实你可以发现，用泰勒展开就可以得到等价无穷小
泰勒展开的唯一要求就是在展开时，展开的最高此项与已有的相同

夹逼定理

大白话：夹逼定理就是通过左右放缩，使得趋于极限时，左右的值都接近，使得原式不得不与左右值相近

从某项起，即当$ (n > N)$时，有$(y_n\leqslant x_n\leqslant z_n)$。

\[\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n = a \]

那么数列${x_n}$的极限存在，且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a$

洛必达法则

使用时需注意$x=x_0$处的领域有定义

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)}{g''(x)}=....=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)} \]

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From： https://www.cnblogs.com/guiyou/p/18466041

极限limit