递推数列的极限（上）------单调有界部分

不管怎么样，求极限之前都要先证明极限存在，即数列收敛。
证明数列收敛两种方法：一种是单调有界准则，一种是夹逼准则。

一.单调有界准则

例1

上面这道题的心路历程：

1. 先在草稿纸用上帝视角求出‘极限’，虽然是猜的，但是一定是对的。
2. 然后根据这个极限，以及题目给的条件，比如这道题给的是x1 = 10，那么根据极限和10的大小关系就能判断是单调递减还是单调递增，单调递减则有下界，单调递增则有上界，我们就做到心中有数了。
3. 然后我们开始答题，一般来说先证明有界性再证明单调性（因为有界性往往可以给单调性提供条件，eg.有界性算出大于等于某个值，有助于后面单调性中求导后正负的判断），有界性一般用数学归纳法做，比如这道题，我们先令初始条件，再假设xn，最后推出xn+1也符合（这个过程一定是对的，只要刚才确定的极限是对的，因为极限就是最精确的界，那么数学归纳法一定就是成立的）
4. 单调性的证明一般就是做差法，然后这道题还进行了有理化的过程。
5. 单调性和有界性证明完了，我们才真正说明了极限是存在的，这时候我们才可以把草稿纸的过程搬进来。（可见草稿纸和真正的答题过程是相反的）

下面的题目基本都是这个心路历程，在此基础上，每道题又有每道题特殊的地方，继续我们的旅途吧！

例2

这道题要补充的点：

1. 有界性也不一定要用数学归纳法，像这一道题，很明显可以直接用均值不等式（但是只有我们草稿纸上算出的极限才是最精确的，均值不等式算出来的不一定，所以可能会使得待会判断单调性出现问题，但是很巧这道题算出来的也刚好是最精确的）。

例3

1. 这道题和上面两道题最大的区别就是我们在草稿纸算出来的值有两个，且都舍弃不掉，这时候我们用不了数学归纳法（因为确定不了界），那我们先判断单调性。
2. 单调性还有一种方法：a_n+1=f(n),如果f(n)单调递增，若a1>a2,则函数单调递增，若a2<a1，则函数单调递减。如果f(n)单调递减，an一定不单调，但是a_2n和a_2n+1一定各自单调。
3. 这道题就可以用这种方法判断，f(x)求导后导数大于0，单调递增，且a2>a1，所以一定单调递增
4. 判断完单调递增，我们怎么选刚才两个极限值呢？记住这个结论，递增选小，递减选大（因为草稿纸上算的都是正确的，所以我们要选最精确的，上界最精确的一定是比较小的。）

例4

1. 和之前对比，区别最大的就是题目给的首项不是一个具体的值，而是一个区间。
2. 要就极限和区间做分类，不同区域的有界性和单调性不一样。

例5

解题思想：

1. 这道题的有界性的判断比较简单，我们很容易就知道他的下界是0
2. 这道题还有其他要格外注意的，就是这道题一定要有界性先判断，再判断单调性，因为sinx<x一定要在x>0的时候，而x>0是在有界性了才能确定的。
3. 而这道题的第二问是披着数列极限的外壳考的是函数极限的知识，记得将函数收敛于几代入进去。

例6

1. 这题题又有特别的地方了，就是极限的那，个方程解出来其实有两个解，我们前面说过如果出现了这种情况，先看看单调性能不能确定，好在这道题的单调函数是单调递增（做商），所以我们可以确定答案是二分之派，其实这道题还有另一种方法得出是二分之派，那就是看题干，很明显，要求极限，而只有xn是趋于二分之派的时候，这个求极限才有意义。
2. 我们知道递增后就用数学归纳法求有上界。
3. 最后也是通过递增有上界排除另外一个解

例7

1. 这道题不同的是我们的递推式子是个超越方程，超越方程我们只能猜，但是猜的不一定是对的，所以我们还要判断这个函数是否只有一个零点，也就是我的草稿纸里面展示的求导过程。（最后的解答过程最好也把这段写进去）。
2. 这几道题的判断单调性几乎都用到了求导法，要掌握，一般就是找一个特殊点，在求导。

例8

1. 这道题和上面那道题思路相同，这道题主要是求导过程会比较复杂，所以同学们要注意如果看到求导一步还出不来，不要害怕，试试继续，不过一般两步，顶多三步就会出来了，期间要注意观察会不会已经可以直接判断了（依据取值范围多代代），如果不行的话，那就通分，然后取分子继续求导。

例9

1. 这道题算是一道不是很常规的题目，用我们前面的方法是不能解的，因为没有等式了，大家可以积累以下这种解法，其实就是我们前面提到的用夹逼准则求极限。（注意求极限的时候会把严格的不等号变成不严格的不等号）
2. 这道题求单调性的方法值得好好看看----->积累（数学是个积累的过程吧）
3. 这道题求有界性的方法也值得深思。
4. 这道题如此新就是因为等式变成了不等式，出一次较新颖，但是出第二次大家也都知道套路了，所以多看几遍就好了！

例10

1. 这不，类题就来了，这次题目没让你去求单调性，去求最小值，你是不是也能自己反应过来了？这就是学习到了思想，数学本质上也是一个积累的过程，见多才能识广！

例11

1. 这道题也算是创新题，没有给递推关系（那我们就自己构造），所以我们先考虑单调性。
2. 然后我们来考虑那个有界性，是不是感觉很抽象？某老师说过，不会有无缘无故的第一问，所以我们就要用上！（其实还是很抽象，但是积累吧）

最后这句话送给大家：Somebody has to win,so why not be me!