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1.拉普拉斯变换
\[\mathscr{L} [f(t)]=F(s)= \int ^ \infty _0 f(t) e^{-st}dt \]$s=\sigma + j \omega $ 是一个复数
简单例子 ，证明 \(\mathscr{L} [e^{-at}]=\frac {1}{s+a}\)
\[\mathscr{L} [e^{-at}] =\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-st} dt =\int ^ \infty _0 e^{-(a+s)t} dt \\ =-\frac{1}{s+a} e^{-(a+s)t} \Big|^ \infty _0 = \frac{-a}{s+a} \\ = - \frac{1}{s+a} \lim_{b \to \infty} e^{-(s+a)t} -(-\frac{1}{s+a}e^0 \\ =\frac {1}{s+a} \]2. 拉普拉斯收敛域
把$s=\sigma + j \omega $ 代入 \(F(s)=\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-st} dt\)
\[F(s)=\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-st} dt =\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-(\sigma + j \omega)t} dt =\int ^ \infty _0 e^{-(a+\sigma)t} e^{- j \omega t} dt \]上式积分项中的第二项 $ e^{-j \omega t } $是旋转矢量，可以根据欧拉公式展开，是周期函数，不影响收敛。
积分项中的第一项的指数 $-(a+\sigma)<0 $ ,才能保证积分收敛。所以, $ \sigma >-a$ 是上述变换的收敛域。
3.导数的拉普拉斯变换
函数 $ f(t) $ 的导数的拉普拉斯变换是拉普拉斯变换理论中的一个重要性质。如果 $ f(t) $ 及其导数 $ f'(t) $ 都是分段光滑且指数阶的，那么 $ f'(t) $ 的拉普拉斯变换可以表示为：
\[\mathscr{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^+) \]其中，$ F(s) $ 是 $ f(t) $ 的拉普拉斯变换，$ f(0^+) $ 是 $ f(t) $ 在 $ t = 0 $ 处的值。
这个性质说明，函数导数的拉普拉斯变换等于 $ s $ 乘以该函数的拉普拉斯变换减去该函数在 $ t = 0 $ 时的值。这个公式在求解微分方程的拉普拉斯变换时非常有用。
推导过程
假设 $ f(t) $ 是一个分段光滑且指数阶的函数，那么它的拉普拉斯变换定义为：
\[F(s) = \mathscr{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \]现在，我们要求 $ f'(t) $ 的拉普拉斯变换：
\[\mathscr{L}\{f'(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f'(t) \, dt \]使用分部积分法，令 $ u = e^{-st} $ 和 $ dv = f'(t) dt $，则 $ du = -se^{-st} dt $ 和 $ v = f(t) $。应用分部积分：
\[\int_0^\infty e^{-st} f'(t) \, dt = \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty - \int_0^\infty (-s e^{-st}) f(t) \, dt \]\[= \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \]由于 \(f(t)\) 是指数阶的，当 $ t \to \infty $ 时，$ e^{-st} f(t) \to 0 $。因此，第一项计算结果为 $ f(0^+) $：
\[= f(0^+) + sF(s) \]所以，我们得到：
\[\mathscr{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^+) \]这就是函数导数的拉普拉斯变换的公式。这个公式可以推广到更高阶的导数。对于 $ n $ 阶导数，拉普拉斯变换是：
\[\mathscr{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1} f(0^+) - s^{n-2} f'(0^+) - \cdots - f^{(n-1)}(0^+) \]这个公式在求解微分方程和控制系统分析中非常有用。
5.传递函数
系统输出的L变换与系统输入的L变换之比，定义传递函数
\[G(s)=\frac{X(s)}{U(s)} \]6.电感电阻电路
动态方程
电流的动态微分方程为
\[e\left(t\right)=L\frac{\mathrm{d}i\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+Ri\left(t\right) \]
定义 此动态 系统的 输入为 电压其 \(u(t)=e(t)\), 输出为 电流\(x(t)=i(t)\), 则
\[u(t)=L \frac{d x(t)}{dt}+R(t) \]拉氏变换
对两边进行L变换
\[\mathcal{L}[u\left(t\right)]=\mathcal{L}\left[L \frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+Rx\left(t\right)\right]\\\Rightarrow U\left(s\right)=L\left(sX\left(s\right)-x\left(0\right)\right)+RX\left(s\right) \]考虑零初始状态，\(x(0)=0\) ,则
\[U(s)=LsX(s)+RX(s)=(Ls+R)X(s) \]其传递函数为
\[G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ls+R} \]常数输入
\(u(t)=C\)作用系统，L变换为
\[U(s)=\mathcal{L}[u(t)]=\mathcal{L}[C]=\mathcal{L}[C\mathrm{e}^{-0t}]=C \frac{1}{s+0}=C \frac{1}{s} \]代入传函 \(G(s)=\frac{1}{Ls+R}\)
\[X(s)=U(s)G(s)=C\left(\frac{1}{s}\right)\left(\frac{1}{Ls+R}\right)=\frac{C}{L} \frac{1}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)} \]分式分解，设待定系数A,B
\[X(s)=\frac{C}{L}\frac{1}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)}=\frac{C}{L}\left(\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{R}{L}}\right) \]解得\(A=\frac LR,B=-\frac LR\)，则
\[X\left(s\right)=\frac{C}{L}\left(\frac{L}{R}-\frac{L}{R}\right)=\frac{C}{R}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{R}{L}}\right) \]L逆变换
对其进行L逆变换
\[x\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left[X\left(s\right)\right]=\frac{C}{R}\left(\mathrm{e}^{0t}-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{2}}}\right)=\frac{C}{R}-\frac{C}{R}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{2}}t} \]
7. 控制系统传递函数
如图所示的开环控制系统(Open Loop Control System):其中\(R(s)\)是参考值(Reference)或目标值，\(C(s)\)是控制器，原动态系统的传递函数\(G\)(s)被称为控制系统的开环传递函数(Open Loop Transfer Function)。控制量是\(U(s)\),也就是原动态系统的输入。控制系统的输出等于原动态系统的输出\(X(s)\)。
控制系统本质上也是一个动态系统，从参考值\(R(s)\)(它同时也是该控制系统的输入，又称参考输人)到系统输出\(X(s)\)是串联的结构，即
\[X(s)=U(s)G(s)=R(s)C(s)G(s) \]若将输出\(X(s)\)反馈到输人端，则可以形成一个闭环控制系统，如图 所示。其中， 参考值与输出之间的差称为误差(Error),\(E\left(s\right)=R\left(s\right)-X\left(s\right)\),其对应的时间函数是\(e\left(t\right)=\) \(r(t)-x\left(t\right)\),控制器 \(C(s)\)将根据误差决定控制量\(U(s)\)。
根据传递兩数的代数性质，可得
\[X(s)=U(s)G(s)=E(s)C(s)G(s) \]将\(E(s)=R(s)-X(s)\) 代入上式
\[\begin{aligned}&X\left(s\right)=\left(R\left(s\right)-X\left(s\right)\right)C\left(s\right)G\left(s\right)\\&\Rightarrow(1+C(s)G(s))X(s)=C(s)G(s)R(s)\\&\Rightarrow X(s)=\frac{C(s)G(s)R(s)}{1+C(s)G(s)}\end{aligned} \]定义闭环传递函数
\[G_{\mathrm{cl}}(s)=\frac{X(s)}{R(s)}=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)} \]得到简化的闭环控制系统框图
8.非零初始状态的传递函数
在 传递函 数的定义中宥 一个先 决条件 ，即零初始 条件。 但在实际情 况中， 往往需要处理非零初始 状态的 系统。
考虑一阶微分方程
\[\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}+ax(t)=u(t) \]L变换
\[\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+ax\left(t\right)\right]=\mathcal{L}[u\left(t\right)]\\sX\left(s\right)-x\left(0\right)+aX\left(s\right)=U\left(s\right) \]在零初始条件下\((x(0)=0)\), 可写成 s\(X(s)+aX(s)=U(s)\),系统的传递函数是
\[G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+a} \]此时定义新的系统输入\(:U_1(s)=U(s)+x(0)\),代人式中，得到
\[G(s)=\frac{X(s)}{U_{1}(s)}=\frac{1}{s+a} \]
这两个系统的传递函数是相同的，其中非零初始条件系统多出一个输人，而这个输人的拉普拉斯变换等于其初始条件\(x(0)\)。对它进行拉普拉斯逆变换可以得到其原函数，即
\[\mathcal{L}^{-1}[x(0)]=x(0)\delta(t) \]其中，\(\delta(t)\)是单位冲激函数，可以把它理解为在很短的时间内释放出的一个单位的能量。将它乘以一个系数 \(x\)(0),则相当于在一瞬间对系统施加了\(x\)(0)个单位的能量(系统的输出也将叠加\(x(0)h(t))\)。因为这个能量是瞬间的，并不持续，所以它不会影响到系统的稳定性分析与特征分析。高阶系统的非零初始条件的分析则比较复杂，但是其理念与一阶系统相同，系统的初始状态可以理解为瞬时间赋予系统的“能量”。
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