1 常微分方程的基本概念
引入概念：
求解过程：
[1] 根据题目可以写出以下关系式：
[2]对导数式两端同时积分：
[3]根据曲线过点(1,2)得：
概念定义：
【1】将方程中含有未知函数、未知函数的导数(或微分)和自变量的方程式叫做微分方程。
【2】常微分方程：未知方程是一元函数。偏微分方程：未知函数是多元函数。
【3】微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
【4】微分方程的解：解出的未知函数就是微分方程的解。
【5】微分方程的通解：微分方程的解中包含任意常数（常数的个数应该等于该微分方程的阶数）是这样的解叫通解。
【6】微分方程的特解：根据给出的条件解出了通解中的所有常数后得到的解就是特解。
2 一阶微分方程
形如：F(x,y,y') = 0的方程。
其通解形式为：y = y(x,C)或f(x,y,C)=0。
2.1 可分离变量微分方程
解法：
【例】
解：
2.2 齐次方程
【例】
解：
化简 + 换元 + 分离变量
两边积分并计算
2.3 一阶线性微分方程（大题一道）
形如：
齐次:
非齐次：
通解结论：
3 可降阶二阶微分方程
3种类型。
解中的常数有2个。
3.1 y‘’ = f(x)型微分方程
解法：移项后等式两边同时解定积分。
3.2 y‘’ = f(x, y')型微分方程
解法：u是关于x的函数u(x)
令u = y'转化为一阶线性(非)齐次微分方程；解得u
再将u中的常数C_1用f(x)替换；根据u=y'得u' = y'';解得f(x)
再将f(x)带入u即解得y'
最后根据上一步中y‘等式两边同时取定积分得方程的解。
3.3 y‘’ = f(y', y'')型微分方程
解法：
与y‘’ = f(x, y')型相同；只是u看作是u(y)即可
4 二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式：
4.1 两个函数的线性相关性
4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1：
定理2：
4.3二阶线性非齐次微分方程解的结构
定理3：
5 二阶常系数线性微分方程
5.1 有关一元二次方程根的一些结论
一元二次方程求根的方法有：
方法1：可因式分解时：
方法2：不方便因式分解时使用求根公式：
共轭复根：
因此，根据以上的定义；
5.2 二阶常系数线性齐次微分方程
解的过程：
结论：
例题：
【1】
解：
首先写出微分方程对应的特征方程：
然后解方程：
特征方程有2个不等实根；根据二阶常系数线性齐次微分方程的通解公式得通解：
【2】
解：
首先写出特征方程：
然后解方程：
特征方程有一对共轭复根；根据二阶常系数线性齐次微分方程的通解公式得通解：
【3】
首先写出特征方程：
然后解方程：
特征方程有2个相等实根(二重根)；根据二阶常系数线性齐次微分方程的通解公式得通解：
以上就是常微分方程的全部内容。
本人能力有限，文中内容难免有纰漏，真诚欢迎大家斧正~
喜欢本文的朋友请三连哦！！！
另外本文也参考了网络上其他优秀博主的观点和实例，这里虽不能一一列举但内心属实感谢无私分享知识的每一位原创作者。