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函数的单调性

定理1

设函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 处可导。

如果在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\ge 0\)，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 \(y = f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调增加。

如果在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\le 0\)，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 \(y = f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调减少。

注意不可导的点。

\(f'(x) = 0\) 的点叫驻点。

看单调性就去找函数的驻点和导数不存在的点。

\(f'(x)>0\) 增函数

\(f'(x)<0\) 减函数

函数的凹凸性的判别法

设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，如果对 \(I\) 上任意两点 \(x_{1},x_{2}\) 恒有：

\[f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} \]

那么称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是（向上）凹的（或凹弧），如果恒有：

\[f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) > \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} \]

那么称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

凹曲线：$f'(x) $ 递增， \(f''(x)>0\)

凸曲线：\(f'(x)\) 递减， \(f''(x)<0\)

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内具有一阶和二阶导数，那么：

• 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)>0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凹的。
• 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)<0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凸的。

如果一个函数 \(f(x)\) 在经过 \((x_{0},f(x_{0}))\) 的时候凹凸性改变了，那么称这个点为拐点。

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