1 多元函数基本概念
二元及二元以上的函数统称多元函数。
1.1 平面点集
开区域：取不到边界值。
闭区域：可以取到边界值。（任意一个边界可以取到即认为是闭区域）
无界：某个方向无穷没有边界（任意一个边界无穷即代表无界）
有界：任意一个方向有边界
1.2 二元函数
其中，x/y为自变量；z为因变量。x,y的变化范围交定义域；z构成的集合骄傲值域。
有界函数：f(x,y)<=M;则有界。反之，无界。
1.3 多元函数的构造
1.3.1 四则运算
以二元函数为例；给定二元函数f(x,y)和g(x,y)，且Df∩Dg≠空集，则可用四则运算构造新函数：
1.3.2 多元函数的复合函数
若u=f(v)；v=g(x,y)；则复合后构成新函数：
题型1：
解法：换元法
题型2：
解法1：换元法
解法2：因式分解法
1.3.3 隐函数
无法将因变量和自变量分离到等式两边的函数式被称为隐函数。
1.3.4 多元函数的极限
注意：函数定义域范围内的点的极限就是函数在该点的值。函数定义域取不到的地方才需要求极限。
题型1：
解法：
定理1：函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的二重极限存在的充要条件是，当点P(x,y)以任何方式趋向于点P0(x0,y0)时，函数的极限存在且相等。
题型：
证明过程：
让点P(x,y)延三条不同的路径趋向于(0, 0)点：
由此，可见，极限并不相等，因此在(0, 0)处极限不存在。
1.3.5 多元函数连续性
1）由连续函数经过加减乘除四则运算得到的函数仍然连续。
2）连续函数和连续函数的复合函数仍是连续函数。
3）初等函数在其有定义的区域内连续。
2 偏导数与全微分
2.1 偏导数的概念
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数：
对x的偏导数：（y看做常数；若极限存在）
对y的偏导数：（x看做常数；若极限存在）
可以记作：
其中：
注意：一元函数中的“可导必连续”在多元函数中不再成立。
2.2 高阶偏导数
二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数共有四个，其中将
称为二阶混合偏导数。两者是相等的。
二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数。
2.3 全微分
全微分公式：
全增量：
推广到3元4元更多元也适用。
3 复合函数与隐函数的导数和偏导数
3.1 复合函数的导数与偏导数
【历史知识】
一元复合函数1：
一元复合函数2：
二元函数：
以上就是链式法则。
3.2 隐函数的导数与偏导数
4 偏导数的应用
4.1 多元函数的极值与最值
4.1.1 多元函数的极值（无条件极值）
定理1：极值的必要条件
可导的极值点一定是驻点；驻点（偏导数为0 的点）不一定是极值点。
定理2：极值的充分条件
4.1.2 多元函数最值
疑似最值点有：驻点（导数为0 的点）、端点、不可导的点。
题型及解题技巧：
1)一阶偏导数=0解得驻点（x,y）
2)如果题目是实际几何问题（物品）；驻点可以直接认为是题目中的极大值或极小值点。将（x，y)带入原函数求解得出最大值或最小值。
3)若题目只有函数与实际无关，则进一步得到二阶偏导数；然后根据极值的充分条件判断极值属性并将（x，y)带入原函数求解得出最大值或最小值。
4.1.3 多元函数的极值（有条件极值）
在有约束条件g(x,y)=0情况下，求函数z=f(x,y)的极值。
定理3[拉格朗日(Lagrange)乘数法]：
利用此定理具体步骤：
1)根据目标函数和约束函数写出拉格朗日函数。
2)建立方程组解出疑似极值点。
3)判断可以极值点是否确实为极值点。
定理4：
4.2 偏导数的集合应用
4.2.1 空间曲线的切线和法平面
因此：
4.2.2 空间曲面的切平面和法线
因此：
4.3 方向导数与梯度
搞张动图直观理解下：
4.3.1 方向导数（结果是数字）
定理5：
推广到三元函数同样成立。
4.3.2 梯度（结果是向量）
由上节的方向导数定理5得：
梯度的意义：函数延梯度方向变化率最大。
梯度的概念推广到三元函数依然试用。
4.3.3 一张图理解
水平有限，难免有误，真诚欢迎大家斧正~
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