【高等数学】第四章 曲线积分与曲面积分

1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质

定义

实际意义可以理解为：

性质：

ds是有小弧段的长度Δs_i转化而来，是曲线弧L的弧微分。

【1】

【2】如果k为常数

【3】若积分弧段L被分为L_1和L_2两段；即L=L_1+L_2，则有：

【4】变换积分弧段L的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不会改变。

【5】|L|表示曲线弧L的长度：

这里回顾下历史的知识点：

根据对弧长的曲线积分的定义，可以把被积函数推广到三元函数f(x,y,z)在空间曲线弧L上的曲线积分：

1.2 对弧长的曲线积分的计算

定理1：（计算全依据于此）

1）根据上述定理；若曲线L是直角坐标系的方程，即L：y=y(x),(a <= x <= b)；则L可转化为参数方程：

从而：

于是：

2）根据上述定理；若曲线L是极坐标系的方程，即L：r=r(θ),(θ0 <= θ <= θ1)；则L可转化为参数方程：

计算得：

从而：

于是：

3）该定理推广到空间曲线L同样适用

根据推广得：

1.3 例题

例1：直角坐标系

解：

例2：极坐标

解：

例3：分段弧长

解：

1.4 练习题

【1】

【2】

【3】

【4】

2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分；有些有积分路径无关）

2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质

一 变力延曲线所做的功

二 对坐标的曲线积分的定义

实际应用和考试中经常出现的是：

在三维空间中：

三 对坐标的曲线积分的性质

【1】可加性

【2】反方向

因此，计算曲线积分时一定要注意曲线弧L的方向。

2.2 对坐标的曲线积分的计算

推广到三元的空间弧段依旧适用：

2.3 例题

【1】

解：

步骤1：直线AB的方程为y=1，直线BO的方程为x=0；两条直线的参数式方程分别是：

步骤2：题目中的积分式根据图像结合积分路径的可累加性可变化为：（注意方向）

步骤3：根据定理分别计算L_AB和L_BO的导数：

特别注意BO方程中自变量不是x而是y。

步骤4：分别对步骤3中的两个曲线积分进行计算。

2. 图示有向线段AO。

解：

步骤1：直线AO的方程为y=-x，直线的参数式方程是：

步骤2：根据定理分别计算L_AO的导数(x是自变量)：

步骤3：计算题目中的曲线积分。

根据这个题目可以得出；起点和终点不一样的积分路径计算出来的坐标的曲线积分结果可能给会不一致。那么什么情况下结果与路径无关呢？下一节会讲到其充要条件。

【2】

解：

步骤1：写出L的参数式方程并画图

步骤2：根据定理分别计算L的导数(θ是自变量)：

步骤3：计算题目中的曲线积分。

2.4 练习题

【1】

3 格林公式及其应用（对闭合的曲线[正方向]计算对坐标的曲线积分；曲线积分转化为二重积分计算）

平面连通区域

没有洞的叫单连通区域。

平面区域边界曲线的定向

定义在区域边界线运动时区域总是位于边界线左边的方向为正方向。

3.1 格林公式

定理1（格林公式）

$$
设平面有界闭区域D(四周闭合+至少有一边是实线)由分段光滑的闭曲线L围成，\\ 函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有：\\ \iint_{D}{(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{y}})dxdy} = \oint_{L}{Pdx+Qdy}; \\ 其中，L是D取正方向的边界曲线。
$$

做题的技巧：把题目中的曲线积分表达式转化为区域的二重积分表达式计算。

3.1.1 例题

【1】

解：（1）

步骤1：根据格林公式找到P(x,y)和Q(x,y):

步骤2：根据找到的P(x,y)和Q(x,y)计算其偏导数：

步骤3：将题目中的曲线积分表达式根据格林公式转化为平面区域的二重积分并计算：

解：（2）

<过程略>

【2】

3.2 平面曲线积分与路径无关的条件（开区域单连通区域）

3.2.1 概念

定理2：

有些题目只给出起点和终点不给出具体的曲线积分路径，要考虑条件是否成立。且计算这样的积分一般适用直角折现的路径最简单，也可以尝试直线。

3.2.2 例题

【1】

解：

步骤1：根据及时表达式写出P,Q

步骤2：判断积分结果与路径无关（肯定是成立的啦）

步骤3：为L找一条最简单方便计算的路径进行积分的计算

步骤4：求得积分结果

3.3 二元函数全微分求积

3.3.1 概念

这是个什么概念呢？听起来就很难理解！！

首先最后的两个字“求积”是指“求积分”；全微分前面是学过的，简单理解为二元函数（多元函数）的全微分（根据偏导数来计算）；二元函数就不要多解释了就是有2个自变量的函数。

那连起来解释这章节主要是讲如何求解根据已知的二元函数表达式来解出该表达式的原函数是否存在并且解出原函数表达式。

这是一个反向思维的过程；前面的章节我们学习过给出一个二元函数u(x,y)我们可以求出它的全微分表达式，即：

令：

则：

因为根据前面多元函数微分学中的知识我们知道二元函数的二阶混合偏导数是相等的，即：

所以：

于是就得出了下面的定理3：

与平面曲线积分与路径无关的条件一致。

3.3.2 例题

【1】

解：

步骤1：写出P，Q

步骤2：确定函数式是某个函数的全微分的条件是否满足

步骤3：因为全微分的条件也是积分路径与积分结果无关的条件，因此根据题目中平面的定义选取积分路径起点和终点坐标；一般都是(0,0)到(x,y)。

步骤4：根据起点终点选择你认为最好计算的积分路径；一般是从起点到终点的直角折线O(0,0)到A(x,0)再到B(x,y)。

步骤5：解出u(x,y)

3.3.3 练习题

4 对面积的曲面积分（第一类曲面积分；转化为对投影平面的二重积分(转化微元)）

4.1 对面积的曲面积分的概念与性质

定义

性质

【1】积分曲面分割累加

【2】

【3】

【4】曲面Σ的面积

4.2 对面积的曲面积分的计算

其实于第三章中重积分的应用中的曲面的面积计算是一样的。只不过前面求面积时被积函数是1；这里被积函数是f(x,y,z)而已。

4.2.1 例题

【1】

解：

首先写出Σ的方程式：

然后画图；

可以明显看出Σ在Oxy平面的投影区域D是一个圆：

在求z的两个偏导数(这里用到换元法+复合函数求导)：

得到dS:

转换原积分式(本题中备机函数中没有z不要将z替换掉)：

再将转换后的二重积分改写为极坐标下的二重积分

题虽简单，知识点密集。

【2】曲面积分；积分区域为闭区域的例子

解：

根据题目知道一共有四个面：

画图；

积分表达式为：

以Σ_1为例，该曲面的方程是：

因此：

只需要计算Σ_4: z=1-x-y.

思考使用二重积分计算或三重积分和曲面积分的关系与区别。

4.2.2 练习题

【1】

【2】

解：

1 首先写出积分表达式

4.2.3 思考曲面积分和三重积分的不同

1.三重积分符号和对面积的曲面积分（第一类）的积分符号和微元不同：

2.积分区域不同；

4.2.4 思考对面积的曲面积分（第一类）和二重积分的不同

1.两者积分区域的类型不同

5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分;转化为对投影平面的二重积分(注意曲面法向量与坐标轴的夹角)）

讨论的是有向曲面（双侧曲面），非莫斯乌环这样的曲面。

与现实得关联；求单位时间内流向曲面Σ指定侧的流体的质量

5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质

定义：

类似地；可以得出Σ对坐标y、z和x、z的曲面积分；分别记作：

应用较多的是三者之和：

规定在光滑有向曲面上三者之和就是函数在曲面上对坐标的曲面积分。

性质：

【1】曲面可分割性

【2】反面性质

因此要特别注意积分区域的曲面方向。

5.2 对坐标的曲面积分的计算

5.2.1 公式

对坐标的曲面积分通常都要转化为二重积分计算；公式如下：

5.2.1 例题

【1】

解：

步骤一：画图；找到Σ的法向量和y轴 以及 法向量和z轴的夹角取值范围；为什么是与y轴和z轴的夹角呢；这是根据题目中曲面积分计算式得出的。

和曲面在Oxz平面的投影区域 以及 曲面在Oxy平面的投影区域。

步骤二：根据步骤一的信息结合曲面积分计算公式尽量简化计算式。

步骤三 计算上面的二重积分

这里，使用到换元法求定积分[很重要一定要掌握]

本人能力有限，文中内容难免有纰漏，真诚欢迎大家斧正~

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