复习到了这里，解题方法有点多，脑子有点乱，遂整理一下
一、常规的三重积分解法
1、先一后二法: 用x,y表示z
2、先二后一法: 用z表示x,y
3、球形积分
4、常用技巧
对称性、轮换对称、换元法(补行列式)，其中球形积分就是用到了换元的思想:
二、第一型曲线积分
第一型曲线积分主要解决平面 or 空间曲线问题
1、空间曲线做法: 一投二代三计算 投到坐标面上
2、平面曲线做法: 一投二代三计算 投到坐标轴上
三、第二型曲线积分
第二型曲线积分主要解决平面曲线问题 or 空间曲线问题
1、平面曲线积分常规做法: 一投二代三计算化为定积分
2、平面曲线积分之格林公式:
这里注意积分与路径无关所引出的六个等价命题:
3、平面曲线积分之结合两类曲线积分
这里的两类是 把第二类曲线积分: \(\int dx + dy\) 化为第一类曲线积分: \(\int ds\)
然后再用第一类曲线积分的性质来解问题：
转化思想如下： 由于 \(dx = ds · cosθ\)，我们只需要根据ds与dx求出cosθ的值即可
4、空间曲线积分常规做法: 一投二代三计算 化三维曲线为二维曲线
5、空间曲线积分之斯托克斯公式:
斯托克斯公式有点类似于旋度
6、小技巧:旋度 rot = 0 可以换路径积分
四、第一型曲面积分
空间曲面做法: 一投二代三计算 投影到坐标面上 化空间曲面为平面
五、第二型曲面积分
1、常规做法: 一投二代三计算并结合转换投影法(换面积分)
① 单独的一投二代三计算:
好像就是普通的二重积分
② 结合转换投影法的一投二代三计算
简直是天才!!!
2、高斯公式
3、结合两类曲面积分
与结合两类曲线积分的做法如出一辙
只需想办法求出cos\(θ\) 、 cos \(α\) 、 cos\(β\) 即可完成转化
\(dx·dy = cosθ·ds\)