积分基本定理的几何说明

对于微积分的核心概念，个人认为有一句话描述的非常到位，＂导数是变化的原因，积分是变化的结果＂！

书上对微积分基本定理的描述以及证明如下：

设 

在闭区间

上连续，

是

在

上的一个原函数，则：

给出的证明过程是：

 因

与

均是

在

上的原函数，只能相差一个常数，即:

让

所以

则:

令

得证。

这个证明比较突兀，尤其是

，一笔带过，很是气人，究竟为什么函数的积分和它的原函数之间有此种联系呢？并未说明，下面用数形结合的方式尝试说明这个问题。

首先，插入一个只要介绍微积分必会用来做例子的经典题目，求方程

在闭区间

上的面积。

经典做法是，上图绘制每个区域都选择这个区域的最大速度，这种取法叫做上和，还也可以取下和，就是每个区的最小速度，甚至是中和，都没有关系，根据夹逼定理，无论哪种取法，当n趋进于

时都是一样的，将区间

平均分成n等份，每一份的长度是

,那么面积S等于：

这个和有一个专门的名字，叫做黎曼和，它的通用形式是:

这里

其中根据平方和公式：

所以

这个结果和通过微积分基本定理得到的结果是一致的。

接下来我们用上图一样的原来来证明微积分基本定理：

第一步，联接函数图形上n个分点相邻点，我们可以用这条线段的斜率作为导函数的近似。

设从原点开始的每个线段的为

 则  

那么,由于

可以表示成函数曲线和坐标轴以及定义域围城的图形的面积，也就是：

我们也可以进行一下代数推导，如下图所示:

＇

设:

0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}" title="\\G'(x)=\frac{d}{dx} \int_{a}^{x}{f(t)dt}=\lim_{h->0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}" style="width: 364px; visibility: visible;" data-type="block">

其中:

就是上图中阴影部分的面积（包括顶部弯的部分).

当h很小的时候，可以用阴影矩形区域替代．

所以

是f(x)的原函数．

得证！