图论-度序列可图性判断(Havel-Hakimi定理)

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0、可图：一个非负整数组成的序列如果是某个无向图的度序列，则该序列是可图的。

1、度序列：Sequence Degree，若把图G所有顶点的度数排成一个序列，责成该序列为图G的一个序列。该序列可以是非递增序的、可以是非递减序列、可以是任意无序的。

2、Havel-Hakimi定理：给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。

定理描述：由非负整数组成的有限非递增序列，S={d1,d2,d3...dn}，当且仅当S1={d2-1,d3-1...d(d1+1),d(d1+2)......dn}也是可图的，也就是说，序列S1也是由非负整数组成的有限非递增序列，S1是由S的删除第一个元素d1之后的前d1个元素分别减一后得到的序列。

（注，Havel-Hakimi定理 讨论的是在非递增序列下判别是否可图的定理）

3、证明略，实例演示：

判断序列S:=6，5，4，3，3，3，2，0 是否可图。

证：a. 删除首元素6，将除去第一个元素后面的6个元素减一，得到：S1 = 4,3,2,2,2,1,0

b.删除首元素4，将除去第一个元素后面的4个元素减一，得到：S2 = 2,1,1,1,1,0

c,删除首元素2，将除去第一个元素后面的2个元素减一，得到：S3 = 0,0,1,1,0

d.重新排序：S4 = 1,1,0,0,0

e.删除首元素1，将除去第一个元素后面的1个元素减一，得到：S3 = 0,0,0,0

则最后得到的是非负序列，证明 序列式可图的！

判断序列S:=7，6，4，3，3，3，2，1 是否可图。

证：a. 删除首元素7，将除去第一个元素后面的7个元素减一，得到：S1 = 6,3,2,2,2,1,0

b.删除首元素6，将除去第一个元素后面的6个元素减一，得到：S2 = 2,1,1,1,0,-1

最后得到的是存在负数的序列，证明 序列式不可图的！

核心代码：

bool Havel_Hakimi(int arr[]){  
    for(int i=0; i<n-1; ++i)
        {  
            sort(arr+i,arr+n);// 从第i个元素开始非递增排序 
            if(i+arr[i] >= n) return false;//若第i个元素+arr[i]的值超过原数组长度，那么将溢出。
            for(int j=i+1; j<=i+arr[i] ; ++j)
                {  
                --arr[j];  
                    if(arr[j] < 0) return false;  
                }  
        }  
    if(arr[n-1]!=0) return false;  
    return true;  
}

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