二阶常系数齐次 / 非齐次线性微分方程通解

标签：cos 特解 通解 二阶 齐次 微分方程 omega sin lambda

注：本文为二阶常系数齐次 / 非齐次线性微分方程通解的几篇合辑。
如有内容异常请看原文。

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二阶常系数齐次线性微分方程的通解

白水baishui 于 2018-03-25 17:13:57 发布

• 本文略去了很多证明，只记录结论

• 文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：

a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 ay′′+by′+cy=0

由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1​、y2​，若 y 1 y 2 ≠ C \frac{y_1}{y_2} \neq C y2​y1​​=C (即两个解之比不为常数)，则 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1​、y2​ 线性无关，那么微分方程的通解为：

y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y = C_1y_1 + C_2y_2 y=C1​y1​+C2​y2​

我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解：

对于微分方程：

a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 ay′′+by′+cy=0

它的特征方程为： a r 2 + b r + c = 0 ar^2 + br + c = 0 ar2+br+c=0（微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂）

写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：

r 1 , 2 = − b ± Δ 2 a ， Δ = b 2 − 4 a c r_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}， \Delta = b^2 - 4ac r1,2​=2a−b±Δ ​​，Δ=b2−4ac

以下分情况讨论：

① 当 Δ > 0 \Delta > 0 Δ>0 时， r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1​、r2​ 是两个不相等的实根

r 1 = − b + Δ 2 a ， r 2 = − b − Δ 2 a r_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}，r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} r1​=2a−b+Δ ​​，r2​=2a−b−Δ ​​

微分方程的通解为：

y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} y=C1​er1​x+C2​er2​x

② 当 Δ = 0 \Delta = 0 Δ=0 时， r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1​、r2​ 是两个相等的实根

r 1 = r 2 = − b 2 a r_1 = r_2 = -\frac{b}{2a} r1​=r2​=−2ab​

微分方程的通解为：

y = C 1 e r 1 x + C 2 x e r 2 x y = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x} y=C1​er1​x+C2​xer2​x

③ 当 Δ < 0 \Delta < 0 Δ<0 时， r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1​、r2​ 是一对共轭复根

r 1 = α + β i ， r 2 = α − β i r_1 = \alpha + \beta i， r_2 = \alpha - \beta i r1​=α+βi，r2​=α−βi

其中 α = − b 2 a ， β = − Δ 2 a \alpha = -\frac{b}{2a}， \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} α=−2ab​，β=2a−Δ ​​

微分方程的通解为：

y = e a x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x) y=eax(C1​cosβx+C2​sinβx)

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二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

白水baishui 于 2018-03-25 22:37:35 发布

• 本文略去了很多证明，只记录结论

• 文中的微分方程均指代二阶常系数非线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为： a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) ay'' + by' + cy = f(x) ay′′+by′+cy=f(x)

微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解 + 自身的一个特解。

简单记为：通解 = 齐次通解 + 特解。

下面只需要解出微分方程的特解即可。

对应微分方程： a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) ay'' + by' + cy = f(x) ay′′+by′+cy=f(x) 右式 f ( x ) f(x) f(x) 有两种形式：

① f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm​(x) 型

此时微分方程对应的特解为： y ∗ = x k R m ( x ) e λ x y^* = x^kR_m(x)e^{\lambda x} y∗=xkRm​(x)eλx

其中：

• R m ( x ) R_m(x) Rm​(x) 是于 p m ( x ) p_m(x) pm​(x) 同次( m m m 次)的多项式(例如： b 1 x 2 + b 1 x + b 2 b_1x^2 +b_1x + b_2 b1​x2+b1​x+b2​)

• k k k 按 λ \lambda λ 不是特征方程的根、是单根、是重根依次取 0、1、2

② f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + Q_n(x)\sin \omega x] f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]型

此时微分方程对应的特解为： y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) cos ⁡ ω x + R m ( 2 ) sin ⁡ ω x ] y^* = x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}\cos \omega x + R_m^{(2)}\sin \omega x] y∗=xkeλx[Rm(1)​cosωx+Rm(2)​sinωx]

其中：

- R m ( 1 ) 和 R m ( 2 ) R_m^{(1)}和R_m^{(2)} Rm(1)​和Rm(2)​是同型 m m m次多项式， m = max ⁡ ( l , n ) m = \max{(l ,n)} m=max(l,n)(即m = l、n中的最大值；所谓同型即例如: R m ( 1 ) = a x + b , R m ( 2 ) = c x + d R_m^{(1)} = ax + b, R_m^{(2)} = cx + d Rm(1)​=ax+b,Rm(2)​=cx+d)

- k k k按 λ + ω i \lambda + \omega i λ+ωi不是特征方程的根、是单根依次取0、1

得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程，即可解出特解中的系数，到这里，就得到了微分方程的完整特解，于齐次通解相加即的微分方程的通解。

例：

求微分方程 2 y ′ ′ + y ′ − y = 2 e x 2y'' + y' - y = 2e^x 2y′′+y′−y=2ex 的通解：

解：

微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2 r 2 + r − 1 = 0 2r^2 + r - 1 = 0 2r2+r−1=0

可得通解： y = C 1 e − x + C 2 e 1 2 x y = C_1e^{-x} + C_2e^{\frac{1}{2}x} y=C1​e−x+C2​e21​x

微分方程的右式 f ( x ) = 2 e x f(x) = 2e^x f(x)=2ex 满足 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm​(x) 型，且 λ = 1 , m = 0 \lambda = 1, m = 0 λ=1,m=0

所以，设特解为： y ∗ = a e x y^* = ae^x y∗=aex

所以 y ∗ = a e x y^* = ae^x y∗=aex、 y ∗ ′ = a e x y^{*'} = ae^x y∗′=aex、 y ∗ ′ ′ = a e x y^{*''} = ae^x y∗′′=aex。

带入微分方程左式得： 2 a e x + a e x − a e x = 2 e x 2ae^x + ae^x - ae^x = 2e^x 2aex+aex−aex=2ex

得： a = 1 a = 1 a=1

所以特解为： y ∗ = e x y^* = e^x y∗=ex

微分方程的通解为： y = C 1 e − x + C 2 e 1 2 x + e x y = C_1e^{-x} + C_2e^{\frac{1}{2}x} + e^x y=C1​e−x+C2​e21​x+ex

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二阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程的选取技巧

枪枪枪 于 2019-10-22 20:25:21 发布

二阶常系数非齐次线性微分方程

y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e λ x y^{''}+py^{'}+qy=P_m(x)e^{\lambda x} y′′+py′+qy=Pm​(x)eλx

有形如 y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} y∗=xkQm​(x)eλx 的特解，其中 Q m ( x ) Q_m(x) Qm​(x) 是与 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x) 同次的多项式，而 k k k 按 λ \lambda λ 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为 0、1 或 2。

一、 f ( x ) = P m ( x ) e λ x f(x)=P_m(x)e^{\lambda x} f(x)=Pm​(x)eλx 型

以图中为例：对特征方程进行求解，解的 r 1 = 2 , r 2 = 3 r_1=2,r_2=3 r1​=2,r2​=3

P m ( x ) = x P_m(x)=x Pm​(x)=x 是一次函数，故设特征方程中 Q m ( x ) = b 0 x + b 1 Qm(x)=b_0x+b_1 Qm(x)=b0​x+b1​

λ = 2 \lambda=2 λ=2 是特征方程的单根，所以 k = 1 k=1 k=1

综上可得特征方程的特解 y ∗ = x 1 ( b 0 x + b 1 ) e 2 x y*=x^1(b_0x+b_1)e^{2x} y∗=x1(b0​x+b1​)e2x

再加一道例题帮助理解

二 、 f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) c o s   ω x + Q n ( x ) s i n   ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\,\omega x+Q_n(x)sin\,\omega x] f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx] 型

特解可设为:

y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) c o s   ω x + R m ( 2 ) ( x ) s i n   ω x ] y^{*}=x^ke^{\lambda x}[R^{(1)}_{m}(x)cos\,\omega x+R^{(2)}_{m}(x)sin\,\omega x] y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)cosωx+Rm(2)​(x)sinωx]​

R m ( 1 ) ( x ) R^{(1)}_{m}(x) Rm(1)​(x) 和 R m ( 2 ) ( x ) R^{(2)}_{m}(x) Rm(2)​(x) 是 m m m 次多项式， m = m a x { l , n } m=max\{l,n\} m=max{l,n}

k k k 按 λ + ω i \lambda+\omega i λ+ωi (或 λ − ω i \lambda-\omega i λ−ωi ) 不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取 0 或 1。

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常系数非齐次微分方程特解及其通解求解

处女座绛翎儿 于 2020-03-01 10:22:05 发布

求通解及设特解的步骤：

一般式形式： a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) ay'' + by' + cy = f(x) ay′′+by′+cy=f(x)

第一步：求特征根：

令 a r 2 + b r + c = 0 ar^2 + br + c = 0 ar2+br+c=0，解得 r 1 r_1 r1​ 和 r 2 r_2 r2​ 两个值，（这里可以是复数，例如 ( β i ) 2 = − β 2 (\beta i)^2 = -\beta^2 (βi)2=−β2）

第二步：通解：

若 r 1 ≠ r 2 r_1 \neq r_2 r1​=r2​，则 y = C 1 ⋅ e r 1 ⋅ x + C 2 ⋅ e r 2 ⋅ x y = C_1 \cdot e^{r_1 \cdot x} + C_2 \cdot e^{r_2 \cdot x} y=C1​⋅er1​⋅x+C2​⋅er2​⋅x

若 r 1 = r 2 r_1 = r_2 r1​=r2​，则 y = ( C 1 + C 2 x ) ⋅ e r 1 ⋅ x y = (C_1 + C_2x) \cdot e^{r_1 \cdot x} y=(C1​+C2​x)⋅er1​⋅x

若 r 1 , 2 = α ± β i r_1, 2 = \alpha \pm \beta i r1​,2=α±βi，则 y = e α x ⋅ ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y = e^{\alpha x} \cdot (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) y=eαx⋅(C1​cosβx+C2​sinβx)

第三步：特解：

1. f ( x ) f(x) f(x) 的形式是 e λ x ⋅ P ( x ) e^{\lambda x} \cdot P(x) eλx⋅P(x) 型，（注： P ( x ) P(x) P(x) 是关于 x x x 的多项式，且 λ \lambda λ 经常为 0）

则 y ∗ = x k ⋅ Q ( x ) ⋅ e λ x y^* = x^k \cdot Q(x) \cdot e^{\lambda x} y∗=xk⋅Q(x)⋅eλx （注： Q ( x ) Q(x) Q(x) 是和 P ( x ) P(x) P(x) 同样形式的多项式，例如 P ( x ) P(x) P(x) 是 x 2 + 2 x x^2 + 2x x2+2x，则设 Q ( x ) Q(x) Q(x) 为 a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c ax2+bx+c， a , b , c a, b, c a,b,c 都是待定系数）

若 λ \lambda λ 不是特征根 k = 0 k=0 k=0 y ∗ = Q ( x ) ⋅ e λ x y^* = Q(x) \cdot e^{\lambda x} y∗=Q(x)⋅eλx

若 λ \lambda λ 是单根 k = 1 k=1 k=1 y ∗ = x ⋅ Q ( x ) ⋅ e λ x y^* = x \cdot Q(x) \cdot e^{\lambda x} y∗=x⋅Q(x)⋅eλx

若 λ \lambda λ 是二重根 k = 2 k=2 k=2 y ∗ = x 2 ⋅ Q ( x ) ⋅ e λ x y^* = x^2 \cdot Q(x) \cdot e^{\lambda x} y∗=x2⋅Q(x)⋅eλx

2. f ( x ) f(x) f(x) 的形式是 e λ x ⋅ P ( x ) cos ⁡ β x e^{\lambda x} \cdot P(x) \cos \beta x eλx⋅P(x)cosβx 或 e λ x ⋅ P ( x ) sin ⁡ β x e^{\lambda x} \cdot P(x) \sin \beta x eλx⋅P(x)sinβx

若 α + β i \alpha + \beta i α+βi 不是特征根， y ∗ = e λ x ⋅ Q ( x ) ( A cos ⁡ β x + B sin ⁡ β x ) y^* = e^{\lambda x} \cdot Q(x)(A \cos \beta x + B \sin \beta x) y∗=eλx⋅Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

若 α + β i \alpha + \beta i α+βi 是特征根， y ∗ = e λ x ⋅ x ⋅ Q ( x ) ( A cos ⁡ β x + B sin ⁡ β x ) y^* = e^{\lambda x} \cdot x \cdot Q(x)(A \cos \beta x + B \sin \beta x) y∗=eλx⋅x⋅Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注： A , B A, B A,B 都是待定系数）

&& 第四步：解特解系数

把特解的 y ∗ ′ ′ y^{*''} y∗′′, y ∗ ′ y^{*'} y∗′, y ∗ y^* y∗ 都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。

结果是 y = 通解 + 特解 y = \text{通解} + \text{特解} y=通解+特解 （相信你应该知道）

通解的系数 C 1 C_1 C1​， C 2 C_2 C2​ 是任意常数】

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常系数非齐次线性微分方程（两种常见形式）

Sany 何灿 于 2020-05-11 23:24:16 发布

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) (1) \Large y'' + py' + qy = f(x)\tag{1} y′′+py′+qy=f(x)(1)

其中 p p p， q q q 是常数。

一般而言，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程。

y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 (2) \Large y'' + py' + qy = 0 \tag{2} y′′+py′+qy=0(2)

的通解和非齐次方程（1）本身的一个特解。由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法之前已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 y ∗ y^* y∗ 的方法。

这里只讨论当方程（1）中的 f ( x ) f(x) f(x) 取两种常见形式时求 y ∗ y^* y∗ 的方法。这种方法的特点是不用积分就可求出 y ∗ y^* y∗ 来，它叫做待定系数法。 f ( x ) f(x) f(x) 的两种形式是

（1） f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x} P_m(x) f(x)=eλxPm​(x)，其中 λ \lambda λ 是常数， P m ( x ) P_m(x) Pm​(x) 是 x x x 的一个 m m m 次多项式：

P m ( x ) = a 0 x m + a 1 x m − 1 + ⋯ + a m − 1 x + a m P_m(x) = a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \cdots + a_{m-1} x + a_m Pm​(x)=a0​xm+a1​xm−1+⋯+am−1​x+am​

（2） f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] f(x) = e^{\lambda x} [P_l(x) \cos \omega x + Q_n(x) \sin \omega x] f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]，其中 λ \lambda λ， ω \omega ω 是常数， ω ≠ 0 \omega \neq 0 ω=0， P l ( x ) P_l(x) Pl​(x)、 Q n ( x ) Q_n(x) Qn​(x) 分别是 x x x 的 l l l 次、 n n n 次多项式，且仅有一个可为零。

一、 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x} P_m(x) f(x)=eλxPm​(x) 型

方程（1）的特解 y ∗ y^* y∗ 是使（1）成为恒等式的函数。怎样的函数能使（1）成为恒等式呢？因为（1）式右端 f ( x ) f(x) f(x) 是多项式 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x) 与指数函数 e λ x e^{\lambda x} eλx 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，因此，我们推测 y ∗ = R ( x ) e λ x y^* = R(x) e^{\lambda x} y∗=R(x)eλx（其中 R ( x ) R(x) R(x) 是某个多项式）可能是方程（1）的特解。

把 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ y^*, y^*{'}, y^*{''} y∗,y∗′,y∗′′ 代入方程（1），然后考虑能否选取适当的多项式 R ( x ) R(x) R(x)，使 y ∗ = R ( x ) e λ x y^* = R(x) e^{\lambda x} y∗=R(x)eλx 满足方程（1）。为此，将

y ∗ = R ( x ) e λ x y^* = R(x) e^{\lambda x} y∗=R(x)eλx

y ∗ ′ = e λ x [ λ R ( x ) + R ′ ( x ) ] y^*{'} = e^{\lambda x} [\lambda R(x) + R'(x)] y∗′=eλx[λR(x)+R′(x)]

y ∗ ′ ′ = e λ x [ λ 2 R ( x ) + 2 λ R ′ ( x ) + R ′ ′ ( x ) ] y^*{''} = e^{\lambda x} [\lambda^2 R(x) + 2\lambda R'(x) + R''(x)] y∗′′=eλx[λ2R(x)+2λR′(x)+R′′(x)]​​

代入方程（1）并消去 e λ x e^{\lambda x} eλx，得

R ′ ′ ( x ) + ( 2 λ + p ) R ′ ( x ) + ( λ 2 + p λ + q ) R ( x ) = P m ( x ) (3) \Large R''(x) + (2\lambda + p) R'(x) + (\lambda^2 + p\lambda + q) R(x) = P_m(x) \tag{3} R′′(x)+(2λ+p)R′(x)+(λ2+pλ+q)R(x)=Pm​(x)(3)

（i）如果 λ \lambda λ 不是（2）式的特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2 + pr + q = 0 r2+pr+q=0 的根，即 λ 2 + p λ + q ≠ 0 \lambda^2 + p\lambda + q \neq 0 λ2+pλ+q=0，由于 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x) 是一个 m m m 次多项式，要使（3）的两端恒等，那么可令 R ( x ) R(x) R(x) 为另一个 m m m 次多项式 $R_m(x) \）：

R m ( x ) = b 0 x m + b 1 x m − 1 + ⋯ + b m − 1 x + b m R_m(x) = b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m Rm​(x)=b0​xm+b1​xm−1+⋯+bm−1​x+bm​

代入（3）式，比较等式两端 x x x 同次幂的系数，就得到以 b 0 , b 1 , ⋯   , b m b_0, b_1, \cdots, b_m b0​,b1​,⋯,bm​ 作为未知数的 m + 1 m+1 m+1 个方程的联立方程组。从而可以定出这些 b i ( i = 0 , 1 , ⋯   , m ) b_i (i = 0, 1, \cdots, m) bi​(i=0,1,⋯,m)，并得到所求的特解 y ∗ = R m ( x ) e λ x y^* = R_m(x) e^{\lambda x} y∗=Rm​(x)eλx。

（ii）如果 λ \lambda λ 是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2 + pr + q = 0 r2+pr+q=0 的单根，即 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 + p\lambda + q = 0 λ2+pλ+q=0，但 2 λ + p ≠ 0 2\lambda + p \neq 0 2λ+p=0，要使（3）的两端恒等，那么 R ′ ( x ) R'(x) R′(x) 必须是 m m m 次多项式。此时可令

R ( x ) = x R m ( x ) R(x) = x R_m(x) R(x)=xRm​(x)

并且可用同样的方法来确定 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x) 的系数 b i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯   , m ) b_i (i = 0, 1, 2, \cdots, m) bi​(i=0,1,2,⋯,m)。

（iii）如果 λ \lambda λ 是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2 + pr + q = 0 r2+pr+q=0 的重根，即 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 + p\lambda + q = 0 λ2+pλ+q=0，且 2 λ + p = 0 2\lambda + p = 0 2λ+p=0，要使（3）的两端恒等，那么 R ′ ′ ( x ) R''(x) R′′(x) 必须是 m m m 次多项式。此时可令

R ( x ) = x 2 R m ( x ) R(x) = x^2 R_m(x) R(x)=x2Rm​(x)

并用同样的方法来确定 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x) 中的系数。

综上论述，有如下结论：

如果 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x} P_m(x) f(x)=eλxPm​(x)，那么二阶常系数非齐次线性微分方程（1）具有形如

y ∗ = x k R m ( x ) e λ x (4) \Large y^* = x^k R_m(x) e^{\lambda x} \tag{4} y∗=xkRm​(x)eλx(4)

的特解，其中 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x) 是与 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x) 同次（ m m m 次）的多项式，而 k k k 按 λ \lambda λ 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次为 0、1 或 2。

上式结论可推广到 n n n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（4）式中 k k k 是特征方程含根 λ \lambda λ 的重复次数（即若 λ \lambda λ 不是特征方程的根，则 k k k 取为 0；若 λ \lambda λ 是特征方程的 s s s 重根，则 k k k 取为 s s s）。

例 1：求微分方程 y ′ ′ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 y'' - 2y' - 3y = 3x + 1 y′′−2y′−3y=3x+1 的一个特解。

解：这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数 f ( x ) f(x) f(x) 是 e λ x P m ( x ) e^{\lambda x} P_m(x) eλxPm​(x) 型（其中 λ = 0 , P m ( x ) = 3 x + 1 \lambda = 0, P_m(x) = 3x + 1 λ=0,Pm​(x)=3x+1）。

与所给方程对应的齐次方程为

y ′ ′ − 2 y ′ − 3 y = 0 y'' - 2y' - 3y = 0 y′′−2y′−3y=0

它的特征方程为

r 2 − 2 r − 3 = 0 r^2 - 2r - 3 = 0 r2−2r−3=0

由于这里 λ = 0 \lambda = 0 λ=0 不是特征方程的根，所以应设特解为

y ∗ = b 0 x + b 1 y^* = b_0 x + b_1 y∗=b0​x+b1​

把它代入所给方程，得

− 3 b 0 x − 2 b 0 − 3 b 1 = 3 x + 1 -3b_0 x - 2b_0 - 3b_1 = 3x + 1 −3b0​x−2b0​−3b1​=3x+1

比较两端 x x x 同次幂的系数，得

{ − 3 b 0 = 3 , − 2 b 0 − 3 b 1 = 1 \begin{cases} -3b_0 = 3, \\ -2b_0 - 3b_1 = 1 \end{cases} {−3b0​=3,−2b0​−3b1​=1​

由此求得 b 0 = − 1 , b 1 = 1 3 b_0 = -1, b_1 = \frac{1}{3} b0​=−1,b1​=31​。于是求得一个特解为

y ∗ = − x + 1 3 y^* = -x + \frac{1}{3} y∗=−x+31​

二、 f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] f(x) = e^{\lambda x} [P_l(x) \cos \omega x + Q_n(x) \sin \omega x] f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx] 型

应用欧拉公式

cos ⁡ θ = e i θ + e − i θ 2 , sin ⁡ θ = e i θ − e − i θ 2 i \Large \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} cosθ=2eiθ+e−iθ​,sinθ=2ieiθ−e−iθ​

把 f ( x ) f(x) f(x) 表示成复变指数函数的形式，有

f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] = P ( x ) e ( λ + ω i ) x + P ‾ ( x ) e ( λ − ω i ) x \Large f(x) = e^{\lambda x} [P_l(x) \cos \omega x + Q_n(x) \sin \omega x] = P(x) e^{(\lambda + \omega i)x} + \overline P(x) e^{(\lambda - \omega i)x} f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]=P(x)e(λ+ωi)x+P(x)e(λ−ωi)x

其中

P ( x ) = P l ( x ) 2 − Q n ( x ) 2 i , P ‾ ( x ) = P l ( x ) 2 + Q n ( x ) 2 i \Large P(x) = \frac{P_l(x)}{2} - \frac{Q_n(x)}{2} i, \quad \overline P(x) = \frac{P_l(x)}{2} + \frac{Q_n(x)}{2} i P(x)=2Pl​(x)​−2Qn​(x)​i,P(x)=2Pl​(x)​+2Qn​(x)​i

是互成共轭的 m m m 次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而 m = max ⁡ [ l , n ] m = \max[l, n] m=max[l,n]。

应用上一目的结果，对于 f ( x ) f(x) f(x) 中的第一项 P ( x ) e ( λ + ω i ) x P(x) e^{(\lambda + \omega i)x} P(x)e(λ+ωi)x，可求出一个 m m m 次多项式 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)，使得 y 1 ∗ = x k R m e ( λ + ω i ) x y_1^* = x^k R_m e^{(\lambda + \omega i)x} y1∗​=xkRm​e(λ+ωi)x 为方程

y ′ ′ + p y ′ + q y = P ( x ) e ( λ + ω i ) x \Large y'' + py' + qy = P(x) e^{(\lambda + \omega i)x} y′′+py′+qy=P(x)e(λ+ωi)x

的特解，其中 k k k 按 λ + ω i \lambda+\omega i λ+ωi 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或 1。 由于 f ( x ) f(x) f(x) 的第二项 P ‾ ( x ) e ( λ − ω i ) x \overline P(x)e^{(\lambda-\omega i)x} P(x)e(λ−ωi)x 与第一项 P ( x ) ⋅ e ( λ + ω i ) x P(x)·e^{(\lambda+\omega i)x} P(x)⋅e(λ+ωi)x 成共轭，所以与 y 1 ∗ y_1^* y1∗​ 成共轭的函数 y 2 ∗ = x k R ‾ m e ( λ − ω i ) x y_2^*=x^k\overline R_me^{(\lambda-\omega i)x} y2∗​=xkRm​e(λ−ωi)x 必然是方程

y ′ ′ + p y ′ + q y = P ‾ ( x ) e ( λ − ω i ) x y''+py'+qy=\overline P(x)e^{(\lambda-\omega i)x} y′′+py′+qy=P(x)e(λ−ωi)x

的特解，这里 R ‾ m \overline R_m Rm​ 表示与 R m R_m Rm​ 成共轭的 m m m 次多项式。于是，根据叠加原理知，方程（1）具有形如

y ∗ = x k R m e ( λ + ω i ) x + x k R ‾ m e ( λ − ω i ) x \Large y^* = x^kR_me^{(\lambda + \omega i)x} + x^k\overline R_me^{(\lambda- \omega i)x} y∗=xkRm​e(λ+ωi)x+xkRm​e(λ−ωi)x

的特解。上式可写为

y ∗ = x k e λ x [ R m e ω x i + R ‾ m e − ω x i ] = x k e λ x [ R m ( c o s   ω x + i s i n   ω x ) + R ‾ m ( c o s   ω x − i s i n   ω x ) ] \Large y^* = x^ke^{\lambda x}[R_me^{\omega xi}+\overline R_me^{-\omega xi}] \\ = x^ke^{\lambda x}[R_m(cos\,\omega x+isin\,\omega x)+\overline R_m(cos\,\omega x-isin\,\omega x)] y∗=xkeλx[Rm​eωxi+Rm​e−ωxi]=xkeλx[Rm​(cosωx+isinωx)+Rm​(cosωx−isinωx)]

由于括号内的两项是互成共轭的，相加后既无虚部，所以可以写成实函数的形式

y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) cos ⁡ ω x + R m ( 2 ) ( x ) sin ⁡ ω x ] \Large y^* = x^k e^{\lambda x} [R_m^{(1)}(x) \cos \omega x + R_m^{(2)}(x) \sin \omega x] y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)cosωx+Rm(2)​(x)sinωx]

综上所述，有如下结论：

如果 f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] \Large f(x) = e^{\lambda x} [P_l(x) \cos \omega x + Q_n(x) \sin \omega x] f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]，

则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设为

y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) cos ⁡ ω x + R m ( 2 ) ( x ) sin ⁡ ω x ] (5) \Large y^* = x^k e^{\lambda x} [R_m^{(1)}(x) \cos \omega x + R_m^{(2)}(x) \sin \omega x] \tag{5} y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)cosωx+Rm(2)​(x)sinωx](5)

其中 R m ( 1 ) ( x ) , R m ( 2 ) ( x ) R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x) Rm(1)​(x),Rm(2)​(x) 是 m m m 次多项式， m = max ⁡ { l , n } m = \max\{l, n\} m=max{l,n}，而 k k k 按 λ + ω i \lambda + \omega i λ+ωi（或 λ − ω i \lambda - \omega i λ−ωi）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取 0 或 1。

上述结论可推广到 n n n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（5）式中的 k k k 是特征方程中含根 λ + ω i \lambda + \omega i λ+ωi（或 λ − ω i \lambda - \omega i λ−ωi）的重复次数。

例 2：求微分方程 y ′ ′ + y = x cos ⁡ 2 x y'' + y = x \cos 2x y′′+y=xcos2x 的一个特解。

解：所给方程是二阶常系数非齐次线性方程，且 f ( x ) f(x) f(x) 属于 e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] e^{\lambda x} [P_l(x) \cos \omega x + Q_n(x) \sin \omega x] eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx] 型（其中 λ = 0 , ω = 2 , P l ( x ) = x , Q n ( x ) = 0 \lambda = 0, \omega = 2, P_l(x) = x, Q_n(x) = 0 λ=0,ω=2,Pl​(x)=x,Qn​(x)=0）。

与所给方程对应的齐次方程为

y ′ ′ + y = 0 y'' + y = 0 y′′+y=0

它的特征方程为

r 2 + 1 = 0 r^2 + 1 = 0 r2+1=0

由于这里 λ + ω i = 2 i \lambda + \omega i = 2i λ+ωi=2i 不是特征方程的根，所以应设特解为

y ∗ = ( a x + b ) cos ⁡ 2 x + ( c x + d ) sin ⁡ 2 x y^* = (ax + b) \cos 2x + (cx + d) \sin 2x y∗=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x

把它代入所给方程，得

( − 3 a x − 3 b + 4 c ) cos ⁡ 2 x − ( 3 c x + 3 d + 4 a ) sin ⁡ 2 x = x cos ⁡ 2 x (-3ax - 3b + 4c) \cos 2x - (3cx + 3d + 4a) \sin 2x = x \cos 2x (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x

比较两端同类项的系数，得

{ − 3 a = 1 , − 3 b + 4 c = 0 , − 3 c = 0 , − 3 d − 4 a = 0 \begin{cases} -3a = 1, \\ -3b + 4c = 0, \\ -3c = 0, \\ -3d - 4a = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​−3a=1,−3b+4c=0,−3c=0,−3d−4a=0​

由此解得

a = 1 3 , b = 0 , c = 0 , d = 4 9 a = \frac{1}{3}, \quad b = 0, \quad c = 0, \quad d = \frac{4}{9} a=31​,b=0,c=0,d=94​

于是求得一个特解为

y ∗ = − 1 3 x cos ⁡ 2 x + 4 9 sin ⁡ 2 x y^* = -\frac{1}{3} x \cos 2x + \frac{4}{9} \sin 2x y∗=−31​xcos2x+94​sin2x

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• 二阶常系数齐次线性微分方程的通解-CSDN博客 白水baishui 于 2018-03-25 17:13:57 发布
  https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79687977

• 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解-CSDN博客 白水baishui 于 2018-03-25 22:37:35 发布
  https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79690752

• 二阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程的选取技巧_二阶非齐次线性微分方程的特解-CSDN博客 枪枪枪 于 2019-10-22 20:25:21 发布
  https://blog.csdn.net/az9996/article/details/102689601

• 常系数非齐次微分方程特解及其通解求解_常系数非齐次线性微分方程的特解-CSDN博客 处女座绛翎儿 于 2020-03-01 10:22:05 发布
  https://blog.csdn.net/shnagmiao/article/details/104587652

• 常系数非齐次线性微分方程（两种常见形式）-CSDN博客 Sany 何灿 于 2020-05-11 23:24:16 发布
  https://blog.csdn.net/SanyHo/article/details/106065374

标签：cos,特解,通解,二阶,齐次,微分方程,omega,sin,lambda
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