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一、齐次方程
如果一阶微分方程可化成
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( \cfrac{y}{x} \right) \tag{1} \]的形式，那么就称这方程为齐次方程。
在齐次方程
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( \cfrac{y}{x} \right) \]中，引入新的未知函数
\[u = \cfrac{y}{x} \tag{2} \]就可以把它化为可分离变量的方程。因为由 \((2)\) 有
\[y = ux, \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]代入方程 \((1)\) 便得方程
\[u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) \]即
\[x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) - u \]分离变量,得
\[\cfrac{\mathrm{d}u}{\varphi(u) - u} = \cfrac{\mathrm{d}x}{x} \]两端积分，得
\[\int \cfrac{\mathrm{d}u}{\varphi(u) - u} = \int \cfrac{\mathrm{d}x}{x} \]求出积分后，再以 \(\cfrac{y}{x}\) 代替 \(u\) ，便得所给齐次方程的通解。
例1 解方程 \(y^2 + x^2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) .
解：原方程可写成
因此是齐次方程。令 \(\cfrac{y}{x} = u\)，则
\[y = ux, \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]于是原方程变为
\[u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cfrac{u^2}{u - 1} \]即
\[x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cfrac{u}{u - 1} \]分离变量，得
\[\left( 1 - \cfrac{1}{u} \right) \mathrm{d}u = \cfrac{\mathrm{d}x}{x} \]两端积分，得
\[u - \ln |u| + C_1 = \ln |x| \]或写为
\[\ln |xu| = u + C_1 \]以 \(\cfrac{y}{x}\) 代上式中的 \(u\) ，便得所给方程的通解为
\[\ln |y| = \cfrac{y}{x} + C_1 \quad 或 \quad y = C \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} (C = \pm \mathrm{e}^{C_1}). \]*二、可化为齐次的方程
方程
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{ax + by + c}{a_1 x + b_1 y + c_1} \tag{3} \]当 \(c = c_1 = 0\) 时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令
\[x = X + h, \quad y = Y + k, \]其中 \(h\) 及 \(k\) 是待定的常数。于是
\[\mathrm{d}x = \mathrm{d}X, \quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}Y, \]从而方程 \((3)\) 成为
\[\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \cfrac{aX + bY + ah + bk + c}{a_1X + b_1Y + a_1h + b_1k + c_1} \]如果方程组
\[\begin{equation*} \begin{cases} ah + bk + c = 0 \\ a_1h + b_1k + c_1 = 0 \end{cases} \end{equation*} \]的系数行列式 \(\left|\begin {array}{c} a&b \\ a_1&b_1 \end{array}\right| \neq 0\)，即 \(\cfrac{a_1}{a} \neq \cfrac{b_1}{b}\) ，那么可以定出 \(h\) 及 \(k\) 使它们满足上述方程组。这样，方程 \((3)\) 便化为齐次方程
\[\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \cfrac{aX + bY}{a_1X + b_1Y} . \]求出这齐次方程的通解后，在通解中以 \(x - h\) 代 \(X\) ，\(y - k\) 代 \(Y\) ，，便得方程 \((3)\) 的通解。
当 \(\cfrac{a_1}{a} = \cfrac{b_1}{b}\) 时，\(h\) 及 \(k\) 无法求得，因此上述方法不能应用。但这是令 \(\cfrac{a_1}{a} = \cfrac{b_1}{b} = \lambda\) ，从而方程 \((3)\) 可写成
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{ax + by + c}{\lambda (ax + by) + c_1} . \]引入新变量 \(v = ax + by\)，则
\[\cfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = a + b \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \quad 或 \quad \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1}{b} \left( \cfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - a \right) . \]于是方程 \((3)\) 称为
\[\cfrac{1}{b} \left( \cfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - a \right) = \cfrac{v + c}{\lambda v + c_1} , \]这是可分离变量的方程。
以上介绍的方法可以应用于更一般的方程
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f \left( \cfrac{ax + by + c}{a_1x + b_1y + c_1} \right) \]例2 解方程 \((2x + y - 4) \mathrm{d}x + (x + y - 1)\mathrm{d}y = 0\) .
解：令 \(x = X + h, y = Y + k\) ，则 \(\mathrm{d}x = \mathrm{d}X, \mathrm{d}y = \mathrm{d}Y\) ，代入原方程得
解方程组
\[\begin{equation*} \begin{cases} 2h + k - 4 = 0 \\ h + k - 1 = 0 \end{cases} \end{equation*} \]得 \(h = 3, k = -2\) .令 \(x = X + 3, y = Y - 2\)，原方程成为
\[(2X + Y)\mathrm{d}X + (X + Y)\mathrm{d}Y = 0 \]或
\[\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = - \cfrac{2X + Y}{X + Y} = - \cfrac{2 + \cfrac{Y}{X}}{1 + \cfrac{Y}{X}} , \]这是齐次方程。
令 \(\cfrac{Y}{X} = u\) ，则 \(Y = Xu, \cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = u + X \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}\) ，于是方程变为
或
\[X \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = - \cfrac{2 + 2u + u^2}{1 + u} . \]分离变量得
\[\cfrac{\mathrm{d}X}{X} = - \cfrac{u + 1}{2 + 2u + u^2} \mathrm{d}u . \]积分得
\[\ln C_1 - \cfrac{1}{2} \ln{(u^2 + 2u + 2)} = \ln |X| , \]于是
\[\cfrac{C_1}{\sqrt{u^2 + 2u + 2}} = |X| \]或
\[C_2 = X^2 (u^2 + 2u + 2) \quad (C_2 = C_1^2) , \]即
\[Y^2 + 2XY + 2X^2 = C_2 . \]以 \(X = x - 3, Y = y + 2\) 代入上式并化简，得
\[2x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 2y = C \quad (C = C_2 - 10). \] 标签：方程,right,7.3,cfrac,齐次,quad,高等数学,mathrm From： https://www.cnblogs.com/mowenpan1995/p/18487386/gdsx7-3qcfc