Chapter 1 Introduction to Vectors
1.1 向量
定义 1.1.1 向量
中学阶段只讨论向量的几何意义，由此我们只能想象出二维和三维的向量。从代数角度，我们可以定义 \(n\) 维的向量。
定义笛卡尔积为两个集合的运算 \(A\times B=\{(u,v)\mid u\in A,v\in B\}\)，其元素是二元组 \((u,v)\)。同理若元素 \(u\) 本身即为一个二元组，那么 \((u,v)\) 同样可以写成三元组 \((u_1,u_2,v)\)。由此可以递归定义 \(n\) 元组 \((a_1,a_2,\dots ,a_n)\)，我们称这个 \(n\) 元组为一个 \(n\) 维向量，记作 \(\mathbf{a}=(a_1,a_2\dots a_n)\)。这里用黑体区分数和向量，但以后的笔记中为了方便可以会略去。通常会把向量写成方括号括起来，用一个 \(n\times 1\) 矩阵来描述的形式，\(\mathbf a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\dots\\a_n\end{bmatrix}\)。
定义 1.1.2 加法和数乘 向量的加法定义为每个元素对应的加法，数乘为每个元素乘法。
\[\mathbf a+\mathbf b=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\\dots\\a_n+b_n\end{bmatrix}\\c\mathbf a=\begin{bmatrix}ca_1\\ca_2\\\dots\\ca_n\end{bmatrix} \]多数情况下，向量满足加法交换律和数乘分配律，即这是一个交换环。
定义 1.1.3 线性组合
这里先粗浅地把向量数乘与加法的组合，称作向量的线性组合。注意零向量的存在，因为，\(0\mathbf v=\mathbf 0\)。
例如，\(w=cv+du\) 就是 \(u,v\) 的一个线性组合。
从几何角度来看，对于两个二维向量 \(u,v\)，如果 \(u\ne kv\)，显然 \(u,v\) 的线性组合可以组合出所有平面上的点（用点代表向量）。否则，只能表示一条线（这肯定是一条过原点的线）。这在三维、四维甚至更高维度是依然是成立的。同理可知，用 \(n\) 个向量，如果其中任意一个向量无法被其余向量线性组合出来，那么这 \(n\) 个向量可以组合出 \(n\) 维空间，即 \(\mathbb R^3\)。
习题
1.27 求 \(n\) 维洞见中的 \(m\) 维超立方体个数。
根据组合意义，得 \(\dfrac{2^n\binom{n}{m}}{2^m}\).
1.2 模和点乘
定义 1.2.1 点乘
对于两个同为 \(\mathbb R^n\) 中的向量 \(v,u\)，记其点乘为：
\[v\cdot u=\sum_{i=1}^{n}v_i\times u_i \]假如两个向量点积为 \(0\)，则称这两个向量垂直（perpendicular）。在二维平面上也就是对应 \(90\degree\) 角。
向量点乘满足交换律，由实数乘法具有交换律显然得到。
定义 1.2.2 模
记 \(v\cdot v\) 再开根号为向量 \(v\) 的模，记作 \(||v||^2=v\cdot v=\sum_{i=1}^{n}v_i^2\)。
定义 1.2.3 单位向量
定义模长为 \(1\) 的向量为单位向量。例如，二维平面上，向量 \(u=(\cos \theta,\sin \theta)\) 就是一个单位向量。
定理 1.2.1 将任意一个向量除以它的模，将会得到单位向量。
定理 1.2.2 勾股定理
若 \(v\cdot w=0\)，则 \(||v||^2+||w||^2=||v-w||^2\)。
证明 展开得到 \(v_1^2+v_2^2+w_1^2+w_2^2=(v_1-w_1)^2+(v_2-w_2)^2\)，这是显然的。
1.3 矩阵
矩阵运算
把若干列向量拼在一起就形成了矩阵。
定义 1.3.1 矩阵加法
矩阵的加法即为每个位置对应相加，或者可以看成向量的加法。
定义 1.3.2 矩阵乘法
记 \(A\times B=C\)，其中 \(A\) 是一个 \(m\times n\) 的矩阵，\(B\) 是一个 \(n\times p\) 的矩阵。有 \(C\) 是一个 \(m\times p\) 的矩阵。
- 常规方法
\(C\) 中每个位置的数 \(c_{ij}\) 可以写成 \(\sum_k a_{ik}b_{kj}\)。
-
\(A\) 矩阵列向量的线性组合
-
\(B\) 矩阵行向量的线性组合
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用列和行的乘积表示
\(AB=\sum\limits_{i=1}^{n} col_i(A)\times row_i(B)\)。
不同的对矩阵乘法方式的理解可以在不同的时候派上用场。例如，向量的线性组成就可以写成矩阵乘以向量的形式。
差分矩阵，\(A\)，满足 \(Ax=\begin{bmatrix}x_1\\x_2-x_1\\x_3-x_2\end{bmatrix}\)。
构造 \(A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}\).
分块矩阵
将矩阵分成若干小矩阵，比如 \(A=\begin{bmatrix}A_1 & A_2\\A_3 & A_4\end{bmatrix}\)。同样分块矩阵也可以做乘法：
\[AB=\begin{bmatrix}A_1B_1+A_2B_3 & A_1B_2+A_2B_4\\A_3B_1+A_4B_3 & A_3B_2+A_4B_4\end{bmatrix} \] 标签：mathbf,定义,矩阵,times,线性代数,bmatrix,向量 From： https://www.cnblogs.com/zcr-blog/p/18568939