python科学计算：NumPy 线性代数与矩阵操作

1 NumPy 中的矩阵与数组

在 NumPy 中，矩阵实际上是一种特殊的二维数组，因此几乎所有数组的操作都可以应用到矩阵上。不过，矩阵运算与一般的数组运算存在一定的区别，尤其是在点积、乘法等操作中。

1.1 创建矩阵

矩阵可以通过 NumPy 的 array() 函数创建。矩阵的形状可以通过 shape 属性来访问。

import numpy as np

# 创建一个 2x3 矩阵
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

print("矩阵：\n", matrix)
print("矩阵的形状：", matrix.shape)

1.2 矩阵与标量的运算

矩阵与标量的加法、减法、乘法和除法等运算会作用于矩阵的每个元素，类似于数组的广播机制。

# 矩阵与标量的运算
result = matrix * 2
print("矩阵与标量相乘的结果：\n", result)

2 矩阵的基本运算

2.1 矩阵加法与减法

矩阵加法和减法是元素对应的操作，只有当两个矩阵的形状相同时，才能进行加法或减法。

# 创建两个矩阵
matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 矩阵加法
sum_matrix = matrix1 + matrix2
print("矩阵加法结果：\n", sum_matrix)

# 矩阵减法
diff_matrix = matrix1 - matrix2
print("矩阵减法结果：\n", diff_matrix)

2.2 矩阵乘法

NumPy 中的 dot() 函数用于执行矩阵乘法，或称为矩阵的点积操作。矩阵乘法的前提是第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

# 矩阵乘法
product_matrix = np.dot(matrix1, matrix2)
print("矩阵乘法结果：\n", product_matrix)

注意: 矩阵的元素对应乘法使用 * 操作符即可，但这不是矩阵乘法。

2.3 矩阵转置

transpose() 函数用于矩阵的转置操作，即将矩阵的行和列互换。

# 矩阵转置
transposed_matrix = matrix1.transpose()
print("转置后的矩阵：\n", transposed_matrix)

2.4 单位矩阵与对角矩阵

• 单位矩阵: 单位矩阵是主对角线元素全为 1，其余元素全为 0 的矩阵，可以使用 np.eye() 创建。
• 对角矩阵: 对角矩阵是除了对角线外，其余元素均为 0 的矩阵，可以使用 np.diag() 创建。

# 创建单位矩阵
identity_matrix = np.eye(3)
print("单位矩阵：\n", identity_matrix)

# 创建对角矩阵
diag_matrix = np.diag([1, 2, 3])
print("对角矩阵：\n", diag_matrix)

3 矩阵的逆与行列式

3.1 矩阵的逆

可逆矩阵（即非奇异矩阵）是指其行列式不为 0 的矩阵。NumPy 提供了 inv() 函数用于计算矩阵的逆。只有方阵（行数等于列数的矩阵）才能求逆。

from numpy.linalg import inv

# 计算矩阵的逆
inverse_matrix = inv(matrix1)
print("矩阵的逆：\n", inverse_matrix)

3.2 矩阵的行列式

矩阵的行列式是一个标量值，用来描述矩阵的某些性质。det() 函数用于计算方阵的行列式。如果矩阵的行列式为 0，则该矩阵不可逆。

from numpy.linalg import det

# 计算矩阵的行列式
determinant = det(matrix1)
print("矩阵的行列式：", determinant)

4 特征值与特征向量

在线性代数中，特征值和特征向量是非常重要的概念。对于一个方阵，特征向量是非零向量，当该向量与矩阵相乘时，结果是原向量的一个倍数，该倍数称为特征值。

4.1 计算特征值和特征向量

eig() 函数可以用于计算方阵的特征值和特征向量。返回的结果是一个包含两个数组的元组：第一个数组是特征值，第二个数组是对应的特征向量。

from numpy.linalg import eig

# 计算特征值与特征向量
eigenvalues, eigenvectors = eig(matrix1)
print("特征值：", eigenvalues)
print("特征向量：\n", eigenvectors)

4.2 特征值分解的应用

特征值分解在很多领域都有广泛的应用，例如主成分分析（PCA）、图像压缩等。通过特征值分解，可以将矩阵分解成多个简单的矩阵形式，简化后续计算。

5 奇异值分解（SVD）

奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种矩阵分解技术，用于将矩阵分解为三个矩阵的乘积。它在数据压缩、降维等领域非常有用。

5.1 svd() 函数

svd() 函数可以将矩阵分解为三个矩阵：U、S 和 V。其中 U 和 V 是正交矩阵，S 是一个对角矩阵。

from numpy.linalg import svd

# 进行奇异值分解
U, S, V = svd(matrix1)
print("U 矩阵：\n", U)
print("S 矩阵：\n", S)
print("V 矩阵：\n", V)

5.2 SVD 的应用

SVD 被广泛应用于信号处理、图像压缩和数据降维等领域。例如，在推荐系统中，SVD 可用于分解用户-物品评分矩阵，从而提取出用户和物品的潜在特征。

6 矩阵的分解

除了奇异值分解，NumPy 还支持其他几种矩阵分解方法，比如 LU 分解和 QR 分解。

1 LU 分解

LU 分解将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵。NumPy 提供了 lu() 函数来进行 LU 分解。

from scipy.linalg import lu

# LU 分解
P, L, U = lu(matrix1)
print("P 矩阵：\n", P)
print("L 矩阵：\n", L)
print("U 矩阵：\n", U)

2 QR 分解

QR 分解将矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵。NumPy 提供了 qr() 函数来进行 QR 分解。

# QR 分解
Q, R = np.linalg.qr(matrix1)
print("Q 矩阵：\n", Q)
print("R 矩阵：\n", R)