线性代数-行列式

n阶排列

由1，2，..., n组成的一个有序数组（一个都不少）
123， 213， 312， 321 3级排列 改变顺序，不是同一个排列（有序）
123...n n级标准排列（自然排列）

行列式定义

3阶行列式

$$A_{3\times 3}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$

1. 行标取自然排列
2. 取不同行不同列3个元素相乘
3. 列标取排列的所有可能
4. 列标排列的逆序数的奇偶性决定符号+, -
   1 2 3 逆序个数： 0
   2 3 1 逆序个数： 2
   3 1 2 逆序个数： 2
   3 2 1 逆序个数： 3
   2 1 3 逆序个数： 1
   1 3 2 逆序个数： 1

n阶行列式

$$A_{m\times n}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{m2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|a_{ij}\right|$$
第一种： 按行展开
$$\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{N(j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\dots a_{n{j}_n}$$

1. 行标取自然排列
2. 取不同行不同列n个元素相乘
3. 列标取排列的所有可能
4. 列标排列的逆序数的奇偶性决定符号+, -

第二种： 按列展开
$$\sum _{i_1{i}_2\cdots i_n}(-1{)}^{N(i_1{i}_2\cdots i_n)}{a}_{i_{1}1}{a}_{i_{2}2}\dots a_{i_{n}n}$$

特殊行列式

行列式性质

转置行列式

$$\begin{array}{c}D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 8& 8& 8\\ 0& 0& 9\end{array}\right|D^T=\left|\begin{array}{ccc}1& 8& 0\\ 2& 8& 0\\ 3& 8& 9\end{array}\right|(D^T{)}^T=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 8& 8& 8\\ 0& 0& 9\end{array}\right|\end{array}$$
$$\begin{array}{c}(D^T{)}^T=D\end{array}$$

性质1 行列地位相同，行性质成立，列也成立

$$\begin{array}{c}D=D^T\end{array}$$

性质2 交换D行列式的两行（列）, D行列式的值变符号

• 推论： 如果D中两行或者两列相等，则D=0
  

性质3 用k乘以D中的某一行(列)的所有元素，等于k乘以D

• 推论：D的某一行（列）元素都有公因子k,k朝外提一次
• 推论：D的所有行的所有元素均有公因子k,k朝外提n次
• 推论：D的两行（列）的值对应成比例，则D=0

性质4 D某一行均为两数之和，则表示成两个行列式的和（其余行保持不动）

性质5 将D的某一行（列）乘以一个数k加到另一行（列）上去，行列式不变

• 某一行直接加到另一行上去
• 某一行去减另一行，某一行X(-1)加到另一行上去

反对称行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}0& -8& -1\\ 8& 0& 9\\ 1& -9& 0\end{array}\right|$$

• $$a_{ij}=-a_{ji}$$
• 主对角线元素全为0

性质

• 奇数阶反对称行列式为0

对称行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 8& -1\\ 8& 2& 9\\ -1& 9& 3\end{array}\right|$$

• $$a_{ij}=a_{ji}$$
• 对称行列式主对角线元素可以为任意数

行列式按单行展开

余子式

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 5& 7\\ 8& -1& 16\end{array}\right|M_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 8& -1\end{array}\right|$$

代数余子式

$$A_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 8& -1\end{array}\right|$$

行列式按行(列)展开定理

• 行列式等于它的某一行(列)元素与其代数余子式乘积之和

异乘变零定理

• 行列式的某一行元素与其他行的代数余子式的乘积之和是0

行列式按多行（列）展开

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right|$$

k阶子式

二阶子式：交叉点:$$\left|\begin{array}{cc}9& 10\\ 13& 14\end{array}\right|$$

余子式

$$\left|\begin{array}{cc}11& 12\\ 15& 16\end{array}\right|$$

代数余子式

$$(-1{)}^{1+2+1+2}\left|\begin{array}{cc}11& 12\\ 15& 16\end{array}\right|$$

拉普拉斯定理

对n阶行列式，取定k行，由此k行组成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于行列式的值

范德蒙德行列式

克莱姆法则 判断解

• 前提：方程个数 === 未知量个数 D不能等于0
• 含有n个方程，n个未知量的n元线性方程组
  $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b2\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=bn\end{array}$$
  当$$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$
  方程组有唯一解
  $$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{D_1}{D}\\ x_2=\frac{D_2}{D}\\ \dots \\ x_n=\frac{D_n}{D}\end{array}$$