线性代数 第五讲:线性方程组_齐次线性方程组_非齐次线性方程组_公共解同解方程组_详解

线性方程组

文章目录

• 线性方程组
• 1.齐次线性方程组的求解
• • 1.1 核心要义
  • 1.2 基础解系与线性无关的解向量的个数
  • 1.3 计算使用举例
• 2. 非齐次线性方程的求解
• • 2.1 非齐次线性方程解的判定
  • 2.2 非齐次线性方程解的结构
  • 2.3 计算使用举例
• 3.公共解与同解
• • 3.1 两个方程组的公共解
  • 3.2 同解方程组
• 4.方程组的应用
• 5.重难点题型总结
• • 5.1 抽象齐次线性方程组的求解
  • 5.1 含有系数的非齐次线性方程组的求解及有条件求全部解问题
  • 5.3 同解方程组相关问题

解方程组是重点，把握命题侧重点,大致类型如下
(1)已知方程组
同解变形(行变换),讨论参数
(2)抽象方程组
秩，解的结构，推理分析

1.齐次线性方程组的求解

1.1 核心要义

核心要义:零解与非零解

零解情况：
齐次线性方程组肯定存在零解，没有无解的情况。
满足r(A)=n，n个列向量都是线性无关的。

有非零解情况：
齐次线性方程组有非零解
⇔秩r(A)<n
⇔A的列向量线性相关

解释说明如下：
齐次线性方程组必有零解，这没什么好说的，关键是齐次线性方程组是否存在非零解。
若r(A)<n，则齐次线性方程组存在非零解，A矩阵的秩=列向量组的秩，n就是未知数的个数(列向量的个数)，A秩小，说明 在未知数个数的列向量是线性相关的。因为假如线性无关，肯定有r(A)=n。

特别的：
1.扁长形的齐次线性方程必有非零解

A-m*n，m<n,则AX=0必有非0解，即r(A)≤r(m)<r(n)

2.A为方阵n*n，AX=0有非0解⇔|A|=0(克莱默法则)

1.2 基础解系与线性无关的解向量的个数

基础解系：解向量的极大线性无关组

线性无关的解向量的个数为：n-r(A),且AX=0的任一个解可以由这n-r(A)个线性无关的解线性表示，如η₁η₂…η_t是AX=0的解，则k₁η₁+k₂η₂+…k_tη_t是AX=0的解

解释说明：关于n-r(A)怎么来的不需要知道，证明需要零向量相关

总结：
明确AX=0的基础解系三条法则：

1. η₁η₂…η_t是AX=0的解
2. η₁η₂…η_t线性无关
3. AX=0的任一解都可以由η₁η₂…η_t线性表示

如何证明η₁η₂…η_t是AX=0的基础解系？（小证明）

1. 验证A.η_i=0
2. 证明η₁η₂…η_t线性无关
3. 说明t=n-r(A)

1.3 计算使用举例

第一步：
第一步肯定把系数矩阵化成行最简形矩阵
第二步：
用n-r(A)明确线性无关解的个数，将列向量划分为主元和自由变量，主元是含1的行最简，自由变量就是非主元了，自由变量的个数就是线性无关解的个数。
将自由变量位置用线性无关的单位向量取代如 ( 1 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (10​01​) ​100​010​001​ ​

第三步：
通过计算补全其余部分，第三步有两种方法，推荐第二种，节约时间。

方法实例如下:

练习如下：

2. 非齐次线性方程的求解

2.1 非齐次线性方程解的判定

非齐次线性方程的解有两种大的情况:有解和无解
1.有解分为有唯一解和无穷多解
2.无解

AX=b有解，要满足系数矩阵的秩r(A)=其增广矩阵的秩 A ‾ \overline{A} A
AX=b无解，就是r(A)≠ A ‾ \overline{A} A，实际上它们之间的差值只能是1，因为等号右边的常数项，只组成了一个列向量。

AX=b有解情况下
r(A)= A ‾ \overline{A} A=n，有唯一解
r(A)= A ‾ \overline{A} A<n，有无穷多解

2.2 非齐次线性方程解的结构

解的结构是：它的一个解(特解)+其对应的齐次线性方程的解

2.3 计算使用举例

计算使用举例，就讲和齐次线性方程不一样的点，首先是解的结构，多了一个特解，特解的计算有技巧，在自由变量的对应位置，齐次方程写的是单位矩阵，特解写的是 0矩阵，所以，等号右边的b直接就可以抄到特解上。

具体实例:

3.公共解与同解

3.1 两个方程组的公共解

公共解问题，关于给出两个方程组的基础解系问题，求公共解问题值得深入思考

公共解的概念：如果α是方程组(I)的解，也是方程组(II)的解，则称α是方程组(I)和方程组(II)的公共解。

求公共解问题的题型总结

• 已知两个方程组，求它们的公共解
• 已知两个方程组的基础解系，求它们的公共解
• 已知一个方程组和另一个方程组的基础解系，求它们的公共解

第一类问题，已知两个方程组，求它们的公共解
已知(I)AX=0，（II)BX=0,求它们的公共解
[ A B ] X = 0 \left[\begin{matrix} A \\ B \\ \end{matrix}\right]X = 0 [AB​]X=0

解释说明，竖着拼接上求齐次线性方程组即可，此时的解向量既满足AX=0，也满足BX=0

第二类问题，已知两个方程组的基础解系，求它们的公共解

思路梳理如下:
假设方程组(I)的基础解系为k₁ξ₁+k₂ξ₂
假设方程组(II)的基础解系为L₁η₁+L₂η₂
1.设公共解为r，r=k₁ξ₁+k₂ξ₂，r=L₁η₁+L₂η₂，注意此时的k₁和k₂，L₁和L₂跟基础解系中的k₁和k₂，L₁和L₂不是一样的，公共解只是基础解系的一部分，所以基础解系的k和公共解的k肯定不同的，这里只是设的一个未知数的形式。求解该类问题的目标其实就是找到k₁，k₂或L₁，L₂它们是什么？也就是它们之间有什么关系？(在添加了约束条件后，这个约束条件就是对面的基础解系)

2.令公共解相同可得到k₁ξ₁+k₂ξ₂=L₁η₁+L₂η₂，移项得k₁ξ₁+k₂ξ₂-L₁η₁-L₂η₂=0,得到一个齐次线性方程组，此时它们之间就联系起来了，k₁,k₂,L₁,L₂看成未知向量组X，ξ₁，ξ₂，L₁，L₁看成A，此时就变成了AX=0,k₁,k₂,L₁,L₂就是对应的x₁,x₂,x₃,x₄
3.解该齐次线性方程组，设新的系数，整理该齐次线性方程组的同解，得到k₁，k₂或L₁，L₂的关系，就能写成此时它们的公共解了。

给出例题:
(2002.4)

(张宇基础书上例题4.12)

已知一个方程组和另一个方程组的基础解系，求它们的公共解
求出一个方程组的基础解系，转化为第二类问题。

3.2 同解方程组

若α是(I)的解，则α一定是(II)的解，反之，若α是(II)的解，则必是(I)的解，就称(I)与(II)同解。

4.方程组的应用

关于方程组的应用，本质是利用求方程组，求矩阵，其实是将非齐次线性方程组中等号右边的列向量，扩展到矩阵的范畴

例题1:

例题2:

5.重难点题型总结

5.1 抽象齐次线性方程组的求解

例题1:

例题2:

例题3:

5.1 含有系数的非齐次线性方程组的求解及有条件求全部解问题

例题如下:
积累点:
1.含有参数的非齐次方程组的化简成行最简的过程
2.分类讨论

5.3 同解方程组相关问题

同解相关问题，常常是给出同解，求参数，利用秩等知识求方程组中的未知参数