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泰勒公式 笔记

时间:2024-08-15 13:08:51浏览次数:14  
标签:泰勒 infty 公式 sum 笔记 cdots dfrac 2n aligned

用来构造一个多项式来近似一个函数

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

大概就是用 \(n\) 阶导数来拟合一下。


严谨推导:

假设 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 能近似表达为 \(g_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n=\sum_{i=0}^na_i(x-x_0)^i\)

且 \(x\to x_0\) 时误差仅为比 \((x-x_0)^n\) 高阶的无穷小

考虑令 \(g_n(x)\) 在 \(x_0\) 处的 \(n\) 阶导数都分别等于 \(f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\ldots,f^{(n)}(x_0)\)

也就是 \(g_n^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0)\)

怎么求 \(g_n(x)\) 的导?

显然

\[ g_n^{(m)}(x+x_0)=\dfrac{m!}{0!}a_m+\dfrac{(m+1)!}{1!}a_{m+1}x+\dfrac{(m+2)!}{2!}a_{m+2}x^2+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(k+m)!}{k!}a_{k+m}x^k \]

用 \((x^n)'=nx^{n-1}\) 做了 \(m\) 次推出来的

所以

\[ g_n^{(m)}(x) =\dfrac{m!}{0!}a_m+\dfrac{(m+1)!}{1!}a_{m+1}(x-x_0)+\dfrac{(m+2)!}{2!}a_{m+2}(x-x_0)^2+\cdots \]

上面都是在求导

所以 \(f^{(m)}(x_0)=g_n^{(m)}(x_0)=m!a_m\),推出 \(a_m=\dfrac{f^{(m)}(x_0)}{m!}\)

然后就证完了!\(g_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

注意到 \(n\) 越大 \(g_n(x)\) 所近似的 \(U(x_0)\) 越大就越近似,开头那个公式就是 \(n\to\infty\) 的情况.


在 \(x_0=0\) 时他就变成了“麦克劳林公式”

即:

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]


常用展开,\(n\) 都是从 \(0\) 到 \(\infty\):

\[ \begin{aligned} e^x&=\sum_{n}\dfrac{1}{n!}x^n\\ \sin x&=\sum_{n}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ \cos x&=\sum_{n}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ \ln(1+x)&=\sum_n\dfrac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\\ \dfrac{1}{1-x}&=\sum_{n}x^n\\ \dfrac{1}{1+x}&=\sum_{n}(-1)^nx^n\\ \end{aligned} \]

都不难代入式子来证明,后两个也有其他方法证.

不常用展开,\(B_n\) 为伯努利数:

\[ \begin{aligned} (1+x)^a&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n\\ \arctan x&=\sum_{n}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\\ \arcsin x&=\sum_{n}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\\ \tan x&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \end{aligned} \]

标签:泰勒,infty,公式,sum,笔记,cdots,dfrac,2n,aligned
From: https://www.cnblogs.com/laijinyi/p/18360663

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