参考 线性代数及其应用（原数第6版）。
第 1 章 线性代数中的线性方程组
1.1 线性方程组
包含变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的线性方程是形如
\[a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b \]的方程，其中 \(b\) 与系数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 为实数或复数，\(n\) 可以是任意正整数。
线性方程组是由一个或几个包含相同变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的线性方程组成的。
线性方程组的解是一组数 \((s_1,s_2,\cdots,s_n)\)，用这组数分别代替 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 时所有方程的两边相等。
方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。若两个线性方程组有相同的解集，则它们称为等价的。
线性方程组的解有下列三种情况：
\(1.\) 无解
\(2.\) 有唯一解
\(3.\) 有无穷多解
称一个线性方程组是相容的，若它有一个解或无穷多个解；称它是不相容的，若它无解。
矩阵记号
一个线性方程组包含的主要信息可以用一个称为矩阵的紧凑的矩形阵列表示。给出方程组
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & +x_3 & = & 0 \\ & 2x_2 & -8x_3 & = & 8 \\ 5x_1 & & -5x_3 & = & 10 \end{matrix} \]矩阵
\[\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix} \]称为该方程组的系数矩阵，而
\[\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10\end{bmatrix} \]称为它的增广矩阵。
矩阵的大小说明它包含的行数和列数。该增广矩阵有 \(3\) 行 \(4\) 列，称为 \(3\times 4\)（读作 \(3\) 行 \(4\) 列）矩阵。若 \(m,n\) 是正整数，\(m\times n\) 矩阵是一个有 \(m\) 行 \(n\) 列的数的矩形阵列。
解线性方程组
解线性方程组的基本思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组（即有相同解集的方程组）代替。
化简线性方程组的三种基本变换：
-
把某个方程换成它与另一方程的倍数的和。
-
交换两个方程的位置。
-
把某一方程的所有项乘以一个非零常数。
一般方法是，我们用方程组第一个方程中含 \(x_1\) 的项消去其他方程中含 \(x_1\) 的项，用第二个方程中含 \(x_2\) 的项消去其他方程中含 \(x_2\) 的项，依次类推。最后得到一个简单的等价方程组。
标签：方程,end,matrix,2x,begin,线性代数,bmatrix From： https://www.cnblogs.com/SError0819/p/18067223考虑解刚才提到的方程组。将消去未知数的过程同时用方程组与相应的矩阵形式表示出来一边比较。
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & +x_3 & = & 0 \\ & 2x_2 & -8x_3 & = & 8 \\ 5x_1 & & -5x_3 & = & 10 \end{matrix} \qquad \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10\end{bmatrix} \]将第一个方程乘以 \(-5\)，加到第三个方程上：
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & +x_3 & = & 0 \\ & 2x_2 & -8x_3 & = & 8 \\ & 10x_2 & -10x_3 & = & 10 \end{matrix}\qquad \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 0 & 10 & -10 & 10\end{bmatrix} \]将方程 \(2\) 乘上 \(\dfrac{1}{2}\)，将 \(x_2\) 的系数变为 \(1\) 以简化下一步的运算：
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & +x_3 & = & 0 \\ & x_2 & -4x_3 & = & 4 \\ & 10x_2 & -10x_3 & = & 10 \end{matrix}\qquad \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 10 & -10 & 10\end{bmatrix} \]利用方程 \(2\) 中的 \(x_2\) 项消去方程 \(3\) 中的项 \(10x_2\)：
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & +x_3 & = & 0 \\ & x_2 & -4x_3 & = & 4 \\ & & 30x_3 & = & -30 \end{matrix}\qquad \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 30 & -30\end{bmatrix} \]将方程 \(3\) 中 \(x_3\) 的系数化为 \(1\)：
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & +x_3 & = & 0 \\ & x_2 & -4x_3 & = & 4 \\ & & x_3 & = & -1 \end{matrix}\qquad \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix} \]用方程 \(3\) 中的 \(x_3\) 消去第一个方程中的项 \(x_3\) 和第二个方程中的项 \(-4x_3\)：
\[\begin{matrix}x_1 & -2x_2 & & = & 1 \\ & x_2 & & = & 0 \\ & & x_3 & = & -1 \end{matrix}\qquad \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix} \]再用方程 \(2\) 中的 \(x_2\) 消去第一个方程中的项 \(-2x_2\)：
\[\begin{matrix}x_1 & & & = & 1 \\ & x_2 & & = & 0 \\ & & x_3 & = & -1 \end{matrix}\qquad \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix} \]我们得出原方程组的唯一解是 \((1,0,-1)\)。经验算这是符合条件的。