线性代数——平面向量 学习笔记
定义及用语说明
无特殊说明，下文的向量均指自由向量且是平面向量。
向量，英文名为 vector，目前没有准确而统一的中文翻译。
在物理学科，一般翻译成「矢量」，且与「标量」一词相对。
在数学学科，一般直接翻译成「向量」。对于向量的乘法：
| 物理 | 数学 | 直译 | 俗称 |
|---|---|---|---|
| 标量积 | 数量积 | 内积 | 点积 |
| 矢量积 | 向量积 | 外积 | 叉积 |
物理和数学上的用语采用了意译的方法，分别表示运算的结果为标量和矢量。
在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。
而「点积」和「叉积」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。
本文采用「点积」和「叉积」的表达方法，大概因为作者读过一篇不大正统的文章。
在数学学科，一般没有说明的话，或者省略了运算符，向量的乘法默认为点积，即标量积。
说了这么多，其实，对于平面向量，只存在点积而不存在差积（x）
在考虑三维向量（或高维向量）之前，只需要考虑点积就可以了。
定义和基本符号
一、有向线段
带有方向的线段称为有向线段。有向线段的三要素为：起点、方向、长度。
根据初等几何，那么只要知道这三要素，这个有向线段就已经被确定了，也就是终点可知。
从另一个角度思考，也可以认为是知道起点、重点，就可以唯一的确定一个有向线段。
一个有向线段由其两个端点表示，记为 \(\overrightarrow{AB}\) 或 \(\vec{a}\)，同时我们记其长度，称为向量的模。
二、向量
既有大小又有方向的量称为向量。这个定义很抽象，我们逐个分解。
我们已经有了有向线段，但是实际应用中，大部分时候，向量的位置并不重要。
于是我们将有向线段的起点不固定，将一个有向线段抽象为一个可以随意移动的量。
此时，你也许发现了。有向线段其实可以再次表示为，起点和一个向量。
我们通常把向量表示在平面直角坐标系内，没有说明的情况下，起点通常标在坐标轴原点。
我们取这个向量在横、纵坐标上延伸的长度作为两个元素，将向量记为 \((a,b)\)。
那么我们就得出了向量的几何意义，即向量 \((a,b)\) 表示向右走 \(a\)、向上走 \(b\) 的位移。
三、向量的模
对于一个向量 \(\vec a\)，有向线段
\(\vec a\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。
符号表示为 \(|\vec a|\) 或 \(|\overrightarrow{AB}|\) ，根据勾股定理，我们知道 \(|\vec a|=|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}\)。
四、特殊的向量
零向量：模为 \(0\) 的向量，零向量的方向任意（不过其实是无意义）。一般记为：\(\vec 0\)。
单位向量：模为 \(1\) 的向量称为单位向量。一般记为 \(\vec e\)，最常见的单位向量就是基向量。
基向量：\(\vec\imath=(1,0)\) 表示 \(x\) 方向的单位向量，\(\vec\jmath=(0,1)\) 表示 \(y\) 方向的单位向量。
平行向量：方向相同或相反的两个非零向量。记作： \(\vec x\parallel \vec y\)。
共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫共线向量。
相等向量：模相等且方向相同的向量。相反向量：模相等且方向相反的向量。
向量的运算
一、向量的数乘
我们规定实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec a\) 的积为一个向量，称为向量的数乘运算，记作 \(\lambda\vec a\)。
我们定义 \(\lambda\vec a=\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\)。据此，我们可以得出以下向量数乘常用的结论：
- \(|\lambda \vec a|=|\lambda||\vec a|\)；
- 当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\vec a\) 与 \(\vec a\) 同向；
- 当 \(\lambda =0\) 时，\(\lambda \vec a=\vec 0\)；
- 当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \vec a\) 与 \(\vec a\) 方向相反。
根据数乘的定义，可以得出向量的数乘满足交换律、结合律、分配率等。
二、向量的线性运算
注意，向量的数乘本质上也属于向量的线性运算，不过我把他们分开，方便理解。
下面讨论向量的加法，类比的，向量的减法可以从公式入手理解。
类比物理中的位移，从 \(A\) 经 \(B\) 到 \(C\)，那么经过的位移等价于直接从 \(A\) 到 \(C\)。
符号表示即：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)，其实这个也就是三角形法则所表述的。
同时，注意到力的合成法则（平行四边形法则），同样也可以看做向量的相加。
因此，我们得出向量相加的两个运算法则，即三角形法则、平行四边形法则：
- 三角形法则：首尾顺次相连，和为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
- 平行四边形法则：向量共起点，和为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，
起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。
这样，向量的加法就具有了几何意义。并且向量的加法满足交换律与结合律。
然后从几何的角度可以推出一些公式，其中三角形法则的公式比较简单，如下：
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \]向量的点积
点积的概念对于任意维数的向量都适用。
已知两个向量 \(\vec a,\vec b\) ，它们的夹角为 \(\theta\)，那么这两个向量的点积为：
\[\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta \]其中，我们称 \(|\vec a|\cos \theta\) 为 \(\vec a\) 在 \(\vec b\) 方向上的投影。
点积的几何意义即为：点积 \(\vec a \cdot \vec b\) 等于 \(\vec a\) 的模与 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 方向上的投影的乘积。
另外，我们定义向量点积数值上表示为（简记为先相乘再相加）：
\[(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2 \]可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的线性运算。
在不引起混淆的情况下，点积的点号可以省略不写。
互相垂直的两个向量的点积，结果为 \(0\)。向量与零向量点积，结果为 \(0\)。
常见方法
一、判定两向量垂直
根据 \(\cos 90^\circ=0\)，\(\vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot \vec b=0\)
二、判定两向量共线
两个非零向量 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 共线，等价于，有唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec b=\lambda \vec a\)。
由数乘的定义知，对于非零向量 \(\vec a\)，如果存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec b=\lambda \vec a\)，那么 \(\vec a \parallel \vec b\)。
数值上，有判别式 \(\vec a = \lambda \vec b \iff |\vec a\cdot \vec b|=|\vec a||\vec b|\)。
三、向量的坐标表示
已知两点 \(A(a,b),B(c,d)\)，易证
\(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)。
四、两向量的夹角
根据 \(\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta\)，得两向量的夹角为：
\[\cos \theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} \]根据 \(\vec a\cdot\vec b=(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2\)，及 \(|\vec x|=|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}\) 得：
\[\cos \theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)}} \]Reference
[1] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/vector/
[2] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/product/