本次，我们将讲述线性代数的基础 —— 求线性方程组，下面从方程组讲起，它有 \(n\) 个未知数以及 \(n\) 个方程，方程数量与未知数个数相等，这是最普遍的状况。
我们会了解到 “行图像（\(RowPictrue\))” 和 “列图像（\(ColumnsPictrue\)）”，行图像想必大家都见过就是两个方程的函数图像交于一点的形式，而列图像大家可能是第一次见到。
接下来，以此方程为例：
\[\begin{cases} 2x\,-y=0 \\ -x+2y=3 \end{cases} \]现在立马就有矩阵的概念了，准确来说应该是方程的系数矩阵。
\[ \begin{bmatrix} -2&-1\\ -1&-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} \]一般来说，我们会用字母 \(A\) , X 和 \(b\) 来给上面 \(3\) 的矩阵命名。
\[A=\begin{bmatrix} -2&-1\\ -1&-2\\ \end{bmatrix} ,X=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} ,b=\begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} \]\(A\) 是系数矩阵，后面是未知数和向量。这里已经有 \(2\) 个未知数，而以后我们可能会碰到更多的未知数。
未知数向量我们一般用加粗的 X 来表示。
最右侧也是向量，用 \(b\) 表示。
所以，线性方程组可以写成 \(A\)X\(=b\)
下面，做本例的行图像：
两个函数表达式分别是 \(2x-y=0\) 和 \(-x+2y=3\) 。
观察行图像，两条直线的交点就是我们关注的焦点，很显然该点应该是 \((1，2)\)。
显然，该方程的解为: \( \begin{cases} x=1\\ y=2 \end{cases} \) 检验成立。
下面我们进入列图像。注意，列图像才是关键。
\[x\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} \]这个方程的目的是寻找如何将向量\(\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}\) 正确组合从而得到 \(\begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix}\) , 这就需要正确的线性组合。
“线性组合(\(Linear\,Combination\,of\,columns)\)” 是贯穿整个文章集合的基本方法。
显然，这些向量有两个分量可以这样作图：
根据图像我们得出正确的组合应该是 \(1\) 个列 \(1\) 和 \(2\) 个列 \(2\)。
即有：
\[1\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} +2\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} \]然后，我们操作 \(+\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}\) ,直观一点就是向左移动一位然后向上移动一位。
如图：
然而很显然，图中的蓝点就是我们所求的 \(b\)
它是怎么得来的？对于第一个分量，\(2\) 和 \((-2)\) 组合得到 \(0\) , 对于第二个分量 ,\(-1\) 和 \(4\) 组合得到 \(3\)。看这个图象，我用两列进行组合，从而得到 \(b\) 即 \((0,3)\)。
因此，线性组合非常关键。
现在，我们思考一个问题，所有的线性组合是什么？
我们回到 \(x\) 和 \(y\) ：\( x\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} \) 。
问题就变成，我们选取所有的 \(x\) 和 \(y\) , 所有的组合，结果会如何？结果是我们会得到任意的右侧向量，这两个向量组合会布满整个坐标平面。这个问题以后还会遇到，到时候再深入研究。
线性组合可以求出 \(b\) , 而所有的线性组合可以求出所有可能的右侧向量,这是本章的基本思想。
接下来，我们来看三元一次方程的情况：
\[\begin{cases} 2x \, -y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =0\\ -x+2y-z =-1\\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -3y+4z=4 \end{cases} \]我们可以知道
\[A=\begin{bmatrix} 2&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&3&4 \end{bmatrix} ,b=\begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix} \]如何解决它呢？行图像是一种方法，列图像又是另外一种方法。记住矩阵形式，它可以使问题简化。
我们先来看行图像：
我们可以看到这是一个三维的坐标系，两个平面交于一线，三个平面交于一点而这个点就是答案。你会发现多维的行图像画起来非常复杂，看上去十分抽象，如果这是四维的话就更难表达，所以我一般更倾向于列图像。
移步到列图像：
\[x\begin{bmatrix} 2\\-1\\0 \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -1\\2\\-3 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix} \]
这道题，我们发现左侧的第三个向量和右侧的向量是相同的，所以我们只需要留下\(z\begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix} \)即可。
很显然, \(x=0,y=1,z=1\) 即为答案，而图中向量 \(col_3\) 的顶点即为所求 \(b\)。
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