第一章 矩阵与线性方程组

§1.1域
§1.2矩阵的基本运算
§1.3\(\text{Gauß}\)消元与矩阵的相抵标准型

第一节 域

定义：一个群是指一个集合\(G(|G|\ge2)\) 与二元运算\(*\)，满足：

1. 封闭性：\(\forall a,b\in G,a*b\in G;\)

2. 结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a*b)*c=a*(b*c);\)

3. 存在恒元 ：\(\exists e\in G.\forall a\in G,a*e=e*a=a;\)

4. 存在逆元： \(\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,a*a^{-1}=a^{-1}*a=e;\)

注：恒元与逆元是唯一的：
\(\blacktriangleleft\)其实，设\(e_1,e_2\)都是恒元，则\(e_1=e_1*e_2=e_2\);

设\(b,c\)都是\(a\)的逆元，则\(b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c。\blacktriangleright\)

定义：若群\(G\)满足\(\forall a,b\in G,a*b=b*a\)，则称\(G\)是交换群，又称\(\text{Abel}\)群。

定义：若非空集合\(F\)及二元运算\(+\)与\(\cdot\)满足：

1. \((F,+)\)是\(\text{Abel}\)群（常称其中恒元为零元，记为\(0_F\)；

2. \((F\backslash\{0_F\},\cdot)\)是\(\text{Abel}\)群（常称其中恒元为幺元，记为\(1_F\)）。

则称\((F,+,\cdot)\)为一个域。（以后未加说明均默认\(F\)是一个域。）

注：\(0\)是不可逆的：

\(\blacktriangleleft\)其实，对于任意的\(a\in F,0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a\)，同时加上\(-(0\cdot a)\)知\(0\cdot a=0\)，而\(0\ne1\)（否则\(F\)中只有\(0\)这一个元素，矛盾！）\(\blacktriangleright\)

定义：若\(F\)上的不可约多项式均为一次式，则称\(F\)为代数闭域。

定义：若存在\(n\in\mathbb{N}_+\)使得\(\underbrace{1+\cdots1}_{n\text{个}1}=0\)，则称最小的这样的\(n\)为\(F\)的特征，记为\(\operatorname{char}(F)\)；若这样的\(n\)不存在，则记\(\operatorname{char}(F)=0\)。w