圆锥曲线
椭圆
椭圆及其标准方程
把细绳的两端拉开一段距离,笔尖移动的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。
我们把平面内与两个定点 \(F_1\),\(F_2\) 的距离的和等于常数的(大于 \(|F_1F_2|\))点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距。
我们以经过椭圆两焦点的直线为 \(x\) 轴,线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴,建立平面直角坐标系\(Oxy\)。
设 \(M(x,y)\) 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 \(2c(c>0)\) 那么焦点 \(F_1\),\(F_2\) 的坐标分别为 \((-c,0)\),\((c,0)\)。根据椭圆的定义,设 \(M\) 与焦点 \(F_1\),\(F_2\) 的距离的和等于 \(2a\)。由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集:
\[P=\left\{M||MF_1|+|MF_2|=2a\right\} \]因为
\[|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \\ |MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]所以
\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a \\ \]整理得
\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]两边平方得
\[(x+c)^2+y^2=4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-(x-c)^2+y^2 \\ \]整理得
\[a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]两边平方得
\[a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2=2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 \\ \]整理得
\[(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \\ \]两边同时除以 \(a^2(a^2-c^2)\) 得
\[\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \\ \]由椭圆定义易知 \(2a>2c>0\),即 \(a>c>0\),所以 \(a^2-c^2>0\)。
令 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\),则
\[\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) \\ \]这就是椭圆的标准方程,他表示焦点在 \(x\) 轴上且两个焦点分别为 \(F_1(-c,0)\),\(F_2(c,0)\) 的椭圆。在这里 \(c^2=a^2-b^2\)。
椭圆的简单几何性质
范围
显然由 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 可知
\[\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\ge0 \]显然
\[\frac{x^2}{a^2}\le1 \]即
\[-a\le x\le a \]同理有
\[-b\le x\le b \]这说明椭圆位于直线 \(x=\pm a\) 和 \(y=\pm b\) 围成的矩形框里。
对称性
在 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 中
-
以 \(-y\) 代 \(y\) 时方程不变,说明椭圆关于 \(x\) 轴对称。
-
以 \(-x\) 代 \(x\) 时方程不变,说明椭圆关于 \(y\) 轴对称。
-
同理以 \(-x\) 代 \(x\),\(-y\) 代 \(y\) 时方程不变,说明椭圆关于原点对称。
综上所述,椭圆关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴都是对称的。坐标轴为对称轴,对称中心为原点。
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
顶点
在 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 中
- 令 \(x=0\),得 \(y=\pm b\),因此 \(B_1(0,-b)\),\(B_2(0,b)\) 是椭圆与 \(y\) 轴的两个交点。
- 令 \(y=0\),得 \(x=\pm a\),因此 \(A_1(0,-a)\),\(A_2(0,a)\) 是椭圆与 \(a\) 轴的两个交点。
这四个交点叫做椭圆的顶点。
\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别为椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于 \(2a\) 和 \(2b\),\(a\) 和 \(b\) 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
离心率
椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的长半轴长为 \(a\),半焦距为 \(c\)。利用信息技术,保持长半轴长 \(a\) 不变,改变椭圆的半焦距\(c\),可以发现,\(c\) 越接近 \(a\),椭圆越扁平。类似地,保持 \(c\) 不变,改变 \(a\) 的大小,则 \(a\) 越接近 \(c\) ,椭圆越扁平;而当 \(a\),\(c\) 扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变。这样,利用 \(c\) 和 \(a\) 这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度。
我们把椭圆的焦距与长轴长的比 \(\frac{c}{a}\) 称为椭圆的离心率,用 \(e\) 表示,即 \(e=\frac{c}{a}\)。
因为 \(a>c>0\),所以 \(0<e<1\)。\(e\) 越接近\(1\),\(c\) 越接近 \(a\),\(b=\sqrt{a^2-c^2}\) 就越小,因此椭圆越扁平;反之,\(e\) 越接近 \(0\),
\(c\) 越接近 \(0\),\(b\) 越接近 \(a\),这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当 \(a=b\) 时,\(c=0\),这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为
\[x^2+y^2=a^2 \]双曲线
双曲线及其标准方程
一般地,我们把平面内与两个定点\(F_1\),\(F_2\) 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 \(|F_1F_2|\))的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
观察双曲线,发现它也具有对称性。而且直线 \(F_1F_2\) 是它的一条对称轴,所以我们取经过两焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的直线 \(x\) 轴,线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴,建立平面直角坐标系 \(Oxy\)。设 \(M(x,y)\) 是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 \(2c(c>0)\),那么焦点 \(F_1\),\(F_2\) 的坐标分别是 \((-c,0)\),\((c,0)\),又设 \(||MF_1|-|MF_2||=2a\)(\(a\) 为大于 \(0\) 的常数,\(a<c\))。由双曲线的定义,双曲线就是下列点的集合:
\[P=\left\{M||MF_1|-|MF_2|=2a,0<2a<|F_1F_2|\right\} \]因为
\[|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \\ |MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \]所以
\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a \\ \]类比椭圆标准方程推导过程化简得
\[(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2) \]两边同时除以 \(a^2(c^2-a^2)\) 得
\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1 \]由双曲线定义易知 \(2a<2c\),即 \(a<c\),所以 \(c^2-a^2>0\)。
类比椭圆标准方程建立过程,令 \(b^2=c^2-a^2(b>0)\),则
\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) \\ \]从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标 \((x,y)\) 都是方程的解;以方程的解为坐标的点 \((x,y)\) 与双曲线的两个焦点\(F_1(-c,0)\),\(F_2(c,0)\) 的距离之差的绝对值都为$ 2a$,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上。我们称方程是双曲线的标准方程,它表示焦点在 \(x\) 轴上,焦点分别是 \(F_1(-c,0)\),\(F_2(c,0)\) 的双曲线,这里 \(c^2=a^2+b^2\)。
双曲线的简单几何性质
范围
类比研究椭圆范围方法,观察双曲线。
显然双曲线上点的横坐标范围 \(x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\)。
由双曲线标准方程可得
\[\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge1 \]显然双曲线上点的坐标 \((x,y)\) 都适用于不等式 \(\frac{x^2}{a^2}\ge1,t\in\R\),即:
\[x^2\ge a^2,y\in\R \]所以 \(x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\),\(y\in\R\)。
这说明双曲线位于直线 \(x=-a\) 及其左侧和直线 \(x=a\) 及其右侧的区域。
对称性
类比研究椭圆对称性的方法,容易得到双曲线关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴都是对称的。坐标轴为对称轴,对称中心为原点。
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
顶点
在双曲线标准方程中
- 令 \(x=0\),得 \(y=-b^2\),无解,说明双曲线和 \(y\) 轴无公共点。
- 令 \(y=0\),得 \(x=\pm a\),因此 \(A_1(0,-a)\),\(A_2(0,a)\) 是椭圆与 \(a\) 轴的两个交点。
这两个交点叫做双曲线的顶点。
\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别为双曲线的实轴和虚轴。它们的长分别等于 \(2a\) 和 \(2b\),\(a\) 和 \(b\) 分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.
渐近线
经过两点 \(A_1\),\(A_2\) 作 \(y\) 轴的平行线 \(x=\pm 3\),经过两点 \(A_1\),\(B_2\) 作 \(x\) 轴的平行线 \(y=\pm 2\),四条直线围成一个矩形,矩形的两条对角线所在直线的方程是 \(\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0\)。可以发现,双曲线 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) 的两支向外延伸时,与两条直线 \(\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0\) 逐渐接近,但永远不相交.
一般地,双曲线 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1(a>0,b>0)\) 的两支向外延伸时,与两条直线 \(\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0\) 逐渐接近,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交。
在双曲线方程 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1(a>0,b>0)\) 中,如果 \(a=b\),那么方程变为 \(x^2-y^2=a^2\),此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 \(2a\)。这时,四条直线 \(x=\pm a\),\(y=\pm a\) 围成正方形,渐近线方程为 \(y=\pm x\),它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
离心率
与椭圆类似,我们把双曲线的焦距与实轴长的比 \(\frac{c}{a}\) 称为双曲线的离心率,用 \(e\) 表示,即 \(e=\frac{c}{a}\)。因为 \(c>a>0\),所以双曲线的离心率 \(e=\frac{c}{a}>1\)。
抛物线
抛物线及其标准方程
首先浅浅作个图。
\(F\) 是定点,\(l\) 是不经过点 \(F\) 的定直线,\(H\) 是直线 \(l\) 上任意一点,过点 \(H\) 作 \(MH\perp l\),线段 \(FH\) 的垂直平分线 \(m\) 交 \(MH\) 于点 \(M\)。拖动点\(H\),点 \(M\) 随之运动。可以发现,在点 \(M\) 随着点 \(H\) 运动的过程中,始终有 \(|MF|=|MH|\),即点 \(M\) 与定点 \(F\) 的距离等于它到定直线 \(l\) 的距离,点 \(M\) 的轨迹形状与二次函数的图象相似。
我们把平面内与一个定点 \(F\) 和一条定直线 \(l\)(\(l\) 不经过点 \(F\))的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 \(F\) 叫做抛物线的焦点,直线 \(l\) 叫做抛物线的准线。
根据抛物线的几何特征,我们取经过点 \(F\) 且垂直于直线 \(l\) 的直线为 \(x\) 轴,垂足为 \(K\),并使原点与线段 \(KF\)的中点重合,建立平面直角坐标系\(Oxy\)。设\(|KF|=p(p>0)\),那么焦点 \(F\) 的坐标为 \((\frac{p}{2},0)\),准线 \(l\) 的方程为 \(x=-\frac{p}{2}\)。设 \(M(x,y)\) 是抛物线上任意一点,点 \(M\) 到准线 \(l\) 的距离为 \(d\)。由抛物线的定义,抛物线是点集
\[P=\left\{M||MF|=d\right\} \]因为
\[|MF|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2} \\ d=|x+\frac{p}{2}| \\ \]所以
\[\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=|x+\frac{p}{2}| \\ \]两边平方并化简得
\[y^2=2px(p>0) \]这是抛物线的标准方程,他表示焦点在 \(x\) 轴正半轴上,焦点是 \((\frac{p}{2},0)\),准线是 \(x=-\frac{p}{2}\) 的抛物线。
标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
---|---|---|
\(y^2=2px(p>0)\) | \((\frac{p}{2},0)\) | \(x=-\frac{p}{2}\) |
\(y^2=-2px(p>0)\) | \((-\frac{p}{2},0)\) | \(x=\frac{p}{2}\) |
\(x^2=2py(p>0)\) | \((0,\frac{p}{2})\) | \(y=-\frac{p}{2}\) |
\(x^2=-2py(p>0)\) | \((0,-\frac{p}{2})\) | \(y=\frac{p}{2}\) |
抛物线的简单几何性质
范围
因为 \(p>0\),显然对于抛物线上的点 \(M(x,y)\),\(x\ge0\),\(y\in\R\),当 \(x>0\) 时,抛物线在 \(y\) 轴右侧,开口方向与 \(x\) 轴正方向相同。当 \(x\) 的值增大时,\(|y|\) 的值增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
对称性
以 \(-y\) 代 \(y\),方程不变,则抛物线关于 \(x\) 轴对称。我们称之为抛物线的轴。
顶点
抛物线及其轴交代为抛物线的顶点,因为 \(x=0\) 时 \(y=0\),所以抛物线的顶点就是原点。
离心率
抛物线上的点 \(M\) 与焦点 \(F\) 的距离和点 \(M\) 到准线的距离 \(d\) 的比 \(\frac{|MF|}{d}\) 叫做抛物线的离心率,用 \(e\) 表示。由抛物线的定义可知,\(e=1\)。
总结
没有总结,开摆。
再次深深感到自己的弱小。
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