圆锥曲线做题笔记

大致只会写思路而非详细过程。

新高考 I 卷 2022

点 \(A(2,1)\) 在双曲线 \(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2-1}=1\ (a>1)\) 上，直线 \(l\) 交 \(C\) 于 \(P,Q\) 两点，\(k_{AP}+k_{AQ}=0\)。

1. 求 \(l\) 的斜率；
2. 若 \(\tan \angle PAQ=2\sqrt{2}\)，求 \(\triangle APQ\) 的面积。

难点在第一问，第二问反而简单一些。

直接设 \(l\) 的斜率不可取，我为啥总是想到这个，设出 \(k_{AP}\)，令其为 \(k\)，则 \(k_{AQ}=-k\)，然后 \(AP\) 就是 \(y=k(x-2)+1\)，直接联立，再结合 \(x_A=2\)，就可以得到 \(x_P\)。
同理把斜率换一下就可以得到 \(x_Q\)，然后在暴力嗯算出 \(y_P,y_Q\)，接下来就再次带入即可。
第二问结合到 \(AP,AQ\) 斜率之和为 \(0\)，则可以认为 \(x\) 轴平分 \(\angle APQ\)，然后就发现 \(\frac{\angle APQ}{2}\) 就是 \(AP\) 的倾斜角，这下 \(P,Q\) 两点坐标就可以全部出来。
结合弦长公式和面积公式就可以很快求出来面积，中间的计算会涉及到 \(\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)\) 之类的式子，不是很困难。

答案：1. \(-1\)；2. \(\frac{16\sqrt{3}}{2}\)。