EM@圆和圆锥曲线的参数方程

标签：EM 方程椭圆参数圆锥曲线抛物线双曲线

文章目录

abstract
圆的参数方程

匀速圆周运动的轨迹

从普通方程直接转化为参数方程

任意位置圆心的方程

参数方程
一般方程
例

交点问题的参数方程法

圆锥曲线的参数方程

椭圆参数方程

例
椭圆内接矩形的最大面积问题

抛物线参数方程

一般位置的抛物线
例

双曲线的参数方程

点到双曲线的最短距离
例

abstract

圆和圆锥曲线的参数方程

圆的参数方程

匀速圆周运动的轨迹

圆可以看作是质点作匀速圆周运动下的轨道曲线
质点以匀角速度 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程$ 作圆周运动,圆心在原点,半径为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_02$

下面建立运动的轨迹方程.
记 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_03$ 为时间，运动开始时 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_04$ ，质点位于点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_05$ 处,

在时刻 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_06$ ，质点位于点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_07$ 处.
由物理学知识， $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_08$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_09$ 为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_10$ 轴正向到向径 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_11$ 所成的角,

因此得参数方程组(1):

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_12$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_13$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_14$

这是圆周运动的轨迹方程,参数为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_15$
也可以以 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_16$ 作为参数(此时参数具有明显的意义),方程(2):

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_17$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_18$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_19$

从普通方程直接转化为参数方程

主要应用毕达哥拉斯三角恒定关系: $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_20$ 实现转换
方程(2)可以由圆的普通方程转化得出

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_21$ ;即 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_22$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_23$
令 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_24$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_25$ ,则得到方程(2)

这个方法对于其他的一些二次曲线也有效,例如圆锥曲线

任意位置圆心的方程

若圆心在点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_26$ ,半径为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_02$ ,则圆的参数方程:

坐标系 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_28$ 原点平移到 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_29$ 处得到的新坐标系记为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_30$ ,( $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_31$ 重合)

参数方程

以 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_32$ 可建立参数方程 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_33$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_34$ ;
再根据平移的坐标变换公式, $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_35$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_36$ ,代入上述方程得:

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_37$
$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_38$

即有方程(3): $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_39$

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_40$
$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_41$

一般方程

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_42$
代入坐标变换公式即有 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_43$

例

圆心 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_44$ ,半径为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_45$ 的参数方程: $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_46$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_47$

交点问题的参数方程法

设直线的参数方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_48$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_49$ (1);圆的方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_50$ (2)
将(1)代入(2)得: $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_51$ ;即 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_52$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_53$
令 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_54$ ,分别代入直线方程,的两个交点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_55$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_56$

圆锥曲线的参数方程

某些研究领域中,圆锥曲线的参数方程比一般方程更加方便,尤其式椭圆的参数方程应用广泛

椭圆参数方程

设椭圆普通方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_57$ ;即 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_58$
令 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_59$ ,则 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_60$ ;取 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_61$
得中心在坐标原点时得椭圆参数方程(1):

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_62$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_63$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_64$

一般位置椭圆:

若椭圆中心位于 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_65$ ,则结合坐标平移变换公式得椭圆一般方程(1-1)

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_66$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_67$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_68$

普通方程: $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_69$

例

设椭圆方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_70$ ,求参数方程

椭圆中心为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_71$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_72$ ,
参数方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_73$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_74$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_19$

椭圆内接矩形的最大面积问题

设椭圆 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_76$ ,求其内接最大矩形面积

椭圆参数方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_77$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_78$
设第一象限内椭圆上一点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_79$ ,由椭圆的对称性,内接举行的面积为

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_80$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_81$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_82$

可见,当 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_83$ 时, $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_84$ 取最大值 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_85$
此时 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_29$ 坐标为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_87$

抛物线参数方程

设抛物线普通方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_88$ ;
只需令 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_89$ ,则 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_90$ ,即得参数方程(1)

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_91$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_92$

但为了使形式更加协调,通常令 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_93$ ;即 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_94$ ,有方程(2)

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_95$
$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_96$

一般位置的抛物线

由坐标平移变换公式, $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_97$ 平移到点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_98$ 为定点的位置的曲线方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_99$

若仅作水平方向的平移,则 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_100$ ,从而方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_101$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_102$ ,顶点为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_103$

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_104$ ,则 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_105$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_106$
例如 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_107$ ,变形为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_108$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_109$
即顶点为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_110$ 的和 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_111$ 形状相同的抛物线

若仅作竖直方程的平移, $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_112$ ,顶点为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_113$

对于 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_114$ ,其 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_115$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_116$ ,顶点为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_117$
例如 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_118$ ,其顶点为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_119$

例

点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_120$ 为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_121$ 上的动点,给定 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_122$ ,点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_123$ 为线段 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_124$ 的中点;求点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_123$ 的轨迹方程

参数方程为: $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_126$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_127$ ;
点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_128$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_129$

可见 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_130$ 的轨迹的参数方程为: $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_131$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_132$
普通方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_133$

双曲线的参数方程

设中心为坐标原点的双曲线的普通方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_134$ (1)

参考三角恒等式 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_135$
令 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_136$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_137$ ,得参数方程(2)

$EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_138$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_139$

点到双曲线的最短距离

点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_140$ 到 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_134$ 的最短距离问题

例

设 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_142$ 到双曲线 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_143$ 的最小距离 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_144$

双曲线的参数方程为 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_145$ ; $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_146$
设点 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_147$ ,则 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_148$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_149$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_150$ = $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_151$
可见,当 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_Ox_152$ 时,即 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_153$ 时, $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_参数方程_148$ 取最小值 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_155$ , $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_156$ 取最小值 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_最短距离_157$
所以 $EM@圆和圆锥曲线的参数方程_方程组_158$