圆锥曲线

(加油加油！）
(未注明则默认假设焦点都在 \(x\) 轴上)

大题可用（可能用到）

• 定比点差法配合极点极线。
• 见到定点先话极线，见到定线先点定点。
• 一个点做圆的切线和割线，点到割点距离积等于到切点积的平方。
• 点乘双根法，可以快速计算斜率积或者向量积等问题。
• 弦长公式也可配合使用。
• 两根之差为 \(\dfrac{\sqrt\Delta} a\)
• 先算答案的点或线，然后过程就先设，然后直接解得。
• 有圆的直径要想到，圆上一点连直径两点为直角。
• 对长度需求特化的题，可以用参数方程设直线。
• 齐次化（定点引两动直线，斜率和或积为定值可考虑使用）（齐次化-知乎）

任意

注意：

三角形面积记得除二！！！

求曲线方程记得抠点！

设直线记得讨论斜率不存在！

基本等式：

• \(e=\dfrac{c}{a}\)

• 第二定义的准线为:\(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\)

• (\(\dfrac{b^2}{a}=ep\))(两者都等于焦半径倒数和)(也即半通径长度等于离心率倍的焦准距，用第二定义可以简单证明)

辅助线/点

• 若题目只提到一个焦点，常需要把另一个焦点点出来连线。

• 直角梯形常分割成矩形和直角三角形。

性质/技巧：

• (重点):直线与圆锥曲线交于 \(\text{A},\text{B}\)，其中 \(AF=\lambda FB\),则 \(|e\cos\theta|=|\dfrac{\lambda-1}{\lambda+1}|\),\(e=\sqrt{1+k^2}|\dfrac{\lambda-1}{\lambda+1}|\)。(求完焦半径，除一下)

• 上式焦点在 \(y\) 轴上时为(焦比公式):\(|e\cos\theta|=|\dfrac{\lambda-1}{\lambda+1}|\),\(e=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}|\dfrac{\lambda-1}{\lambda+1}|\)

???:
你读过书么？
……那我便考你一考。焦半径的长度，怎样写的？
不能写罢？……我教给你，记着！这些长度应该记着。将来高考的时候，做题要用。
对呀对呀！……焦半径有四样写法，你知道么？

• 焦半径(坐标形式):\(a+ex\) 或 \(a-ex\)(由第二定义可以轻松得到)

• 焦半径(斜率/角度):\(|\dfrac{ep}{1\pm e\cos{\theta}}|=|\dfrac{b^2}{a\pm c\cos{\theta}}|\)(一种证明方法为：做出焦点三角形后，设焦半径长度为x后使用余弦定理)

• 焦半径(通径形式):\(\dfrac{(1+\lambda)b^2}{2a^2}\) 或 \(\dfrac{(1+\frac{1}{\lambda})b^2}{2a^2}\)(用焦比公式表示出 \(c\cos\theta\) 后代入焦半径公式中 \(|\dfrac{b^2}{a\pm c\cos{\theta}}|\) 的形式中得)(给比不给角时常可使用)

• 焦半径倒数和为:\(\dfrac{2}{ep}=\dfrac{2a}{b^2}\)

• 焦点弦长(斜率/角度):\(|\dfrac{2ep}{1-e^2\cos^2{\theta}}|=|\dfrac{ab^2}{a^2-c^2\cos^2{\theta}}|\)

• 求离心率就是列出一个 \(a,b,c\) 的齐次表达式。

• 类似的求离心率范围就是列一个齐次不等式。

• 轨迹方程(一种处理方法)：求谁设谁，转化到所给。

• 有中点可以和原点连接构造中位线。

• 给三角函数值可以做垂线，找关系。

• 三角形角平分线定理:左边比左边等于右边比右边。(证明考虑正弦定理)

• 如果题目只提到一个焦点也要把另一个焦点标出来用。

• 比例关系可以想相似。

• 垂直平分线可以想距离相等。

• 硬解定理硬解方程。

• 仿射变换太强啦。

• 极点极线太强啦。

• 斜率之积为 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的直线，仿射变换后变垂直。

• 小题目注意使用定义。

• 切线方程：代一留一

• 阿波罗尼斯圆:给出一个点 \(A\) 和一个圆 \(C\) 可以找到圆内某个点，这个点和 \(A\) 到圆上同一个点的距离比都为 \(\lambda\)，由此可以将线段和中的不同带权都变为 \(1\)。

• 点差法：方程 代点，做差。

• 一维坐标为 \(0\) 另一维坐标为相反数的两个点，常为圆锥曲线的焦点。

• 蒙日圆(交于圆上点的两条切线垂直)椭圆的蒙日圆半径为 \(a^2+b^2\)，双曲线的蒙日圆半径为 \(a^2-b^2\)。

• 恒成立问题有时候可以先考虑特殊情况，发现性质，然后明确思路。(实在不行就暴算吧)

椭圆

\(a^2\) 大于 \(b^2\) 时焦点在 \(x\) 轴上。
反之在 \(y\) 轴上。

特殊数值：

• 焦点：\((\pm c,0)\)
• 左右顶点：\((\pm a,0)\)
• 上下顶点：\((0,\pm b)\)
• 通径长：\(\dfrac{2b^2}{a}\)
• 焦点三角形面积：\(S=b^2\tan{\dfrac{\theta}{2}}\)

基本等式：

• \(a^2=b^2+c^2\)
• \(a^2-b^2=c^2\)
• \(a^2-c^2=b^2\)
• \(e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\)

技巧/性质：

• 中点弦问题：用点差法 得到 \(k_{ab}\times k_{om}=-\dfrac{b^2}{a^2}=e^2-1\)

• 过原点的直线与椭圆的交点与椭圆上任意一点形成的两直线的斜率之积为 \(-\dfrac{b^2}{a^2}=e^2-1\) (与上个类似也是使用点差法)

• \(4a\) 体给两边比例关系，就设一个未知量。

• 点取上下顶点时，与两焦点张角最大，变化在两边分别单调。

• 焦点三角形求离心率:\(\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}\)(正弦定理，然后其中两个分子相加分母相加，再整理一下)

• 相互垂直两个焦点弦倒数和为:\(\dfrac{2-e^2}{2ep}\)

• 垂直常用数量积转化。

• 蒙日圆(交于圆上点的两条切线垂直)半径为 \(a^2+b^2\)。

• 任意弦端点横坐标差为：\(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta_x}}{|a|}\)(\(a\) 为联立后的方程二次项系数)(表示为两个 \(x\) 的和与积的形式后，用韦达换成方程系数)

• 弦长公式(考试可以直接用)： \(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=|AB|=\sqrt{1+k^2}\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)(\(a\) 为联立后的方程二次项系数) (前者用两地距离公式后，将 \(y\) 用 \(x\) 表示后化简，代入上一式得后者)(正反设代入后式结果相同)

双曲线

\(x\) 下分子为为正时焦点在 \(x\) 轴上。
反之在 \(y\) 轴上。

特殊数值：

• 焦点：\((\pm c,0)\)
• 左右顶点：\((\pm a,0)\)
• 实轴长为\(2a\)，虚轴长为\(2b\)。
• 渐近线：\(y=\pm\dfrac{b}{a}x\) 或写成 \(bx\pm ay=0\)
• 通径长：\(\dfrac{2b^2}{a}\)
• 焦点三角形面积：\(S=\dfrac{b^2}{\tan{\frac{\theta}{2}}}\)

基本等式：

• \(c^2=a^2+b^2\)
• \(c^2-a^2=b^2\)
• \(c^2-b^2=a^2\)
• \(e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\)

技巧/性质：

• 焦点到渐近线距离为 \(b\)。

• 顶点到渐近线距离为 \(\dfrac{ab}{c}\)。

• 曲线上一点到两渐近线距离之积为定值： \(\dfrac{a^2b^2}{c^2}\)(可代入顶点到渐近线距离求出）

• 相互垂直两个焦点弦倒数和为:\(\dfrac{|2-e^2|}{2ep}\)

• 焦点三角形内切圆与 \(x\) 轴切与其中一个顶点。

• \(e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-k^2}\) (\(k\) 指渐近线斜率)

• 焦点三角形求离心率:\(\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{|\sin{\alpha}-\sin{\beta|}}\)

• 求离心率时候，发现有 \(ab\) 则一般把 \(c\) 都换成 \(a\) 和 \(b\) 求 \(\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=e\)

• 坐标轴平分渐近线所成的角，所以角平分线定理常可以化腐朽为神奇。

椭圆双曲线共焦点

(下标 \(1\) 指椭圆，\(2\) 指双曲线，\(\theta\) 指顶角)

• 交点到两焦点距离为 \(a_1-a_2\) 和 \(a_1+a_2\)。

• (重点)\(\dfrac{\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{e_1^2}+\dfrac{\cos^2{\frac{\theta}{2}}}{e_2^2}=1\)(证明考虑余弦定理，并分别用两种圆锥曲线的定义转化，或者直接上两种焦点三角形的面积公式)

• 求离心率却未给顶角则考虑 \(a_1,a_2,c\) 之间关系。

• 注意使用 \(1\) 的代换。

• 求离心率表达式极值，有时候直接转化所求的式子，有时候则要得出一个等式后用均值不等式。

抛物线

(默认 焦点 为 \((\dfrac{p}{2},0)\))

特殊数值：

• 焦点：\((\pm \dfrac{p}{2},0)\)
• 准线：\(x=\pm \dfrac{p}{2}\)
• 顶点：\((0,0)\)
• 焦半径长(坐标形式)：\(x_0+\dfrac{p}{2}\)
• 焦点弦长(坐标形式)：\(x_0+x_1+p\)
• 通径长：\(2p\)

辅助线/点

• 多做准线的垂线，并利用定义转换，化简问题。

• 以焦点弦为一边可以做出一个神奇的菱形。

• 遇到切线可以考虑做神奇的菱形。

• 借焦点弦中点求斜率。

技巧/性质：

• 焦点弦端点坐标关系：\(x_0\times x_1=\dfrac{p^2}{4},y_0\times y_1=-p^2\)(证明考虑设直线，韦达)

• 焦点弦：\(AB=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}\)(代入焦半径公式)

• 焦半径长度倒数和为：\(\dfrac{2}{p}\)(将 \(e=1\) 代入圆锥曲线焦半径长度倒数和公式)

• 焦半径长度积为：\(\dfrac{p^2}{\sin^2\theta}\)

• 焦点三角形面积为：\(\dfrac{p^2}{2\sin\theta}\)

• 弦中点与弦斜率关系：\(k_{AB}=\dfrac{p}{y_m}\)(点差法证明)

• 见中点弦就想点差法。

• 开口向左右时候，设直线如：\(x=my+n\) 这样，斜率无法表示的仅有与抛物线交点唯一的直线。

• 以焦点弦为直径做圆必与坐标轴相切。

• 过焦点弦两端点引准线的垂线，以两垂足为直径端点做圆与焦点弦相切。

• 以焦半径为直径的圆与一条坐标轴相切。

• 设 \(N\) 为焦点弦中点与 准线垂足，则：\(NA\perp NB,NF\perp AB\)(前者根据斜边中点，或者做 \(AB\) 直径的圆，后者可以用全等证明)

• 设 \(C,D\) 为焦点弦端点 \(A,B\) 与 准线垂足,则：\(FC\perp FD\)(向量积直接计算为 \(0\))

• 设 \(D\) 为焦点弦端点 \(B\) 与 准线垂足,则：\(A,O,C\) 三点共线(算直线斜率相等)

• 以焦点弦为一边可以做出一个神奇的菱形，上面某些结论可以用这个菱形证明，很多题目也可以借助这个菱形做出。

• 上面那个菱形的两条对角线都与抛物线相切。(代切线公式)

• 对角线将菱形分成的四个三角形，以焦点弦为一边的三角形叫这个抛物线的阿基米德三角形

• 焦点弦与焦点的对称点所成的角被 \(x\) 轴平分。

• 抛物线的阿基米德三角形就是极点与极线中的自极三点形，其他性质暂略。

• 抛物线可以用抛物线方程将 \(x\) 换成 \(y\) 或 \(y\) 换成 \(x\)