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标准圆锥曲线的旋转

引入

这是一道 2022 年新高考 II 卷的选择题：

若 \(x\), \(y\) 满足 \(x^2+y^2-xy=1\) 则
A. \(x+y\leq1\)
B. \(x+y\geq-2\)
C. \(x^2+y^2\leq2\)
D. \(x^2+y^2\geq1\)

标准解答是基本不等式或三角换元，但稍加研究，不难发现，题目中的 \(x^2+y^2-xy=1\) 事实上表示的是一个斜椭圆。

椭圆的旋转

高中课本上对于椭圆只介绍了焦点在坐标轴上的最简单的情形，为了得到斜椭圆，我们只需将标准的椭圆绕中心进行旋转。
下面对一般情形进行讨论。
设 \(xOy\) 平面内的一个椭圆，方程为

\[\begin{equation} \label{1} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \end{equation} \]

其中 \(a>b>0\)

易知这是一个中心位于原点，焦点位于x轴的椭圆。
要得到它绕原点旋转 \(r\) 弧度后的方程，为了方便，考虑使用极坐标。
以坐标原点为极点，\(x\) 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆上任意一点 \((x,y)\) 的极坐标为 \((\rho, \theta)\)，将它绕极点逆时针旋转 \(r\) 弧度后得到的点的坐标为 \((\rho, \theta+r)\)
再转换为直角坐标得

\[(\rho\cos(\theta+r), \rho\sin(\theta+r)) \]

应用两角和公式得

\[(x\cos r-y\sin r, x\sin r+y\cos r) \]

此即

\[\begin{array} \\x'=x\cos r-y\sin r \\y'=x\sin r+y\cos r \end{array} \]

可以用矩阵简记为

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos r & -\sin r \\ \sin r & \cos r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

反代回椭圆方程 \(\ref{1}\) 得

\[\dfrac{(x\cos r+y\sin r)^2}{a^2}+\dfrac{(y\cos r-x\sin r)^2}{b^2} = 1 \]

整理后得到

\[\begin{equation}\label{2} (\dfrac{\cos^2 r}{a^2}+\dfrac{\sin^2 r}{b^2})x^2 + (\dfrac{\sin^2 r}{a^2}+\dfrac{\cos^2 r}{b^2})y^2+2\sin r\cos r(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2})xy=1 \end{equation} \]

这就是我们想要的由标准椭圆变换而来的斜椭圆的方程了。
斜双曲线、斜抛物线的方程同理可以得到。

解题

再回到最开始的那道高考题，注意到方程的形式与我们得到的斜椭圆方程类似，于是我们可以使用待定系数法求得相应参数。
对比系数可得

\[\begin{array}\\ \dfrac{\cos^2 r}{a^2}+\dfrac{\sin^2 r}{b^2} = 1\\ \dfrac{\sin^2 r}{a^2}+\dfrac{\cos^2 r}{b^2} = 1\\ 2\sin r\cos r(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}) = -1 \end{array} \]

联立解得 \(a^2=2\), \(b^2=\dfrac{2}{3}\), \(r=\dfrac{\pi}{4}\)^[1]
之后我们就可以使用椭圆的性质解题了。
容易想到， AB 选项考察的是椭圆的有界性， CD 选项考察的是椭圆的半长轴和半短轴。

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1. 此处限定了 \(r\in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) ↩︎

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From： https://www.cnblogs.com/nephrenn/p/16986324.html