零. 前言
博主长期做不起圆锥大题, 故有此篇. 多数参考知乎专栏.
他说了些很有意思的观点, 试举一例: "联立方程时, 要整理成只关于 \(x\) 的方程: 这就把点的坐标 \((x,y)\) 给割裂了. 点的坐标 \((x,y)\) 是整体的, 而不是 \(x,y\) 两个分开的实数."
一. 基础观点
显然, 不把点的坐标认为是 \((x,y)\) 两个实数的方法只有: 把点视为线性空间的矢量. 为了避免混淆, 我将称为 "几何对象" 和 "代数对象".
引入 齐次坐标, 用三维线性空间中的矢量 (代数对象), 表示二维平面上的点 (几何对象). 对应规则是, 三维矢量 \((\lambda x,\lambda y,\lambda)\;(\lambda\ne 0)\) 对应点 \((x,y)\).
之所以叫齐次坐标: 在方程里, 所有项的次数是相同的, 因为对三维矢量 \((x,y,z)\) 中的 \(\frac{x}{z}\) 和 \(\frac{y}{z}\) 建立方程, 实际上每个项都是 \(0\) 次的.
另外, 几何对象线 \(\ell:ax+by+c=0\) 也可以拥有齐次坐标 \((a,b,c)\), 它满足 \((\lambda x,\lambda y,\lambda z)=(x,y,z)\), 所以和点的地位相同.
不难发现点 \(a\) 在直线 \(\ell\) 上, 等价于 \(a\cdot\ell=0\), 这是我们熟悉的向量内积. 但点积是很几何的概念, 我们认为它不是自然存在的. 为了表示这层关系, 我们找到了替代品: 对偶空间.
我们认为, 点的代数对象属于线性空间 \(V\), 线的代数对象属于对偶空间 \(V^*\). 因此将 \(V\) 中的矢量称为 点矢, \(V^*\) 中称为 线矢. 注意这都是代数对象.
齐次坐标有些很美的运算, 最美是叉乘. 根据 \((A\times B)\cdot X=0\;(X\in\{A,B\})\), 我们晓得点矢叉乘 \((A\times B)\) 代表 \(\ell_{AB}\). 对偶地, 线矢叉乘 \((A\times B)\) 代表 \(\ell_A\cap\ell_B\).
这告诉我们: 点矢的叉乘是线矢, 线矢的叉乘是点矢.
二. 点乘
想要定义点矢之间的点积, 需要借助外力: \(3{\times} 3\) 可逆对称 矩阵 \(G\). 我们称其为度规.
用 \(G\) 可以定义 \(V\mapsto V^*\) 的映射: \(a\mapsto Ga\). 其中 \(V^*\) 的基底是对偶基. 还有 \(V^*\mapsto V\) 的映射: \(\ell\mapsto G^{-1}\ell\).
在度规有定义时, 它们是天造地设的一对. 将点矢记为 \(a^o\), 则其对应线矢为 \(a_o\). 将线矢记为 \(\ell_o\), 则其对应点矢为 \(\ell^o\). 这里 \(o\) 只是形式上的记法, 用于区分类别.
此时定义点乘 \(a^o\cdot b^o = a_o \cdot b_o = a^o\cdot b_o = a_o\cdot b^o\), 别忘了线矢和点矢的点积是天然的. \(G\) 的对称性使得 \(a\cdot b = b\cdot a\).
设 \(a,b,c,d\) 同为点矢或线矢, 此时 \((a\times b)\cdot(c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\) 仍然成立, 比较可怕.
三. 圆锥曲线
二次曲线 由 \(3{\times 3}\) 对称矩阵 \(G\) 定义: 以 \(G\) 为度规, 则点矢 \(a\) 的几何对象属于该二次曲线, 当且仅当 \(a\cdot a=0\). 我们也将其称为 二次点列. 与之相对的是 二次线束: \(\ell\cdot\ell=0\) 则 \(\ell\) 在 \(G\) 对应的二次线束上.
用 \(G_o\) 表示二次点列 (它类似线矢, 定义的是点的集合), 用 \(G^o\) 表示二次线束. 在 \(G\) 可逆时, \(G\) 给出的二次点列, 其全部切线就是 \(G^{-1}\) 给出的二次线束. 因此用 \(G^o\) 表示 \(G_o\) 的逆矩阵, 反之亦然.
不难发现 \(G_o\) 就是普通的二次曲线, 因为 \(a\cdot a\) 中包含了所有非齐次化意义下的二次或更低次项 (只需要调整 \(G\) 的系数). 而 \(G\) 的对称性能确保它 "唯一" (齐次坐标意义下).
若 \(G\) 可逆, 可作度规. \(a^o\) 的极线是 \(a_o\). 线 \(\ell_o\) 的极点是 \(\ell^o\). 这就是所谓 "半代换".
\(G\) 不可逆时, 二次曲线会退化. 我们晓得, 它会退化成两条线, 或一条线, 或一个点.
用两条线 \(a_o,b_o\) 构造二者构成的退化二次曲线是简单的, 就是乘法. 为了让 \(G\) 对称, 设 \(a_o=(a_1,a_2,a_3)\), 同理设 \(b_o\), 则 \(G_{i,j}=a_ib_j+a_jb_i\).
为了方便, 上式简写为 \(G_o=a_ob_o+b_oa_o\), 再简写为 \(G_o=a_o\otimes b_o\).
同理, 构造退化二次线束为 \(G^o = a^o\otimes b^o\), 其几何对象是所有经过 \(a^o\) 或 \(b^o\) 的直线.
来看看 韦达定理 在哪里. 设直线 \(\ell_o\) 与非退化二次曲线 \(G_o\) 交于 \(a,b\), 求 \(a,b\) 两点给出的退化二次线束. 有一种巧妙的思路转换, 但不易说清, 我直接写结论, 过程读者自证不难: 直线 \(m\) 属于该退化二次线束, 当且仅当 \(m\) 与 \(\ell\) 的交点在 \(G\) 上, 或 \(m\) 与 \(\ell\) 重叠.
因此可以翻译为 \((m\times l)\cdot(m\times l)=0\), 打开得 \((m\cdot m)(l\cdot l)-(m\cdot l)^2=0\).
可以看出, 我们得到了结果: 该退化二次线束的矩阵
\[F^o=l^2G^o-l^ol^o \]值得注意的是 \(F^o\) 确实是对称的, 因此 \(F^o = a^o\otimes b^o\).
我们可以不开根号, 就得到 \(F^o\). 这就是韦达定理, 因为 \(\begin{cases}a^o = (x_1,y_1,1)\\ b^o = (x_2,y_2,1)\end{cases}\) 时, 可以看到
\[a^o\otimes b^o = \begin{pmatrix} 2x_1 x_2 & x_1y_2+x_2y_1 & x_1+x_2\\ & 2y_1y_2 & y_1+y_2\\ & & 2 \end{pmatrix} \]由对称性, 下半部分未给出. 注意该矩阵是齐次的, 每个位置不是对应相等, 而是等比. (也就是说, 这个等号是几何对象相等.)
同样的方法可以给出 \(a,b\) 的切线构成的退化二次点列. 还可以让 \(a^o\) 点引 \(G\) 的两条切线, 这两条切线构成的二次点列是 \(H_o = a^2 G_o - a_oa_o\). 而 \(\begin{cases}m_o=(k_1,-1,b_1)\\n_o=(k_2,-1,b_2)\end{cases}\) 的构造
\[m_o\otimes n_o = \begin{pmatrix} 2k_1k_2 & -(k_1+k_2) & k_1b_2+k_2b_1\\ & 2 &-(b_1+b_2)\\ & & 2b_1b_2 \end{pmatrix} \]跃跃欲试? 马上就来.
例题: 有椭圆 \({x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\), 点 \(P\) 作该椭圆的两条切线垂直, 求 \(P\) 点轨迹.
解: 设点 \(p^o=(x,y,1)\), 椭圆 \(G_o=\begin{pmatrix}1\over a^2&&\\&1\over b^2&\\&&-1\end{pmatrix}\), 则 \(p_o=({x\over a^2},{y\over b^2},-1)\).
由 \(p^2={x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-1\), 得切线的二次点列
\[H_o=p^2G_o - p_op_o=\begin{pmatrix} {y^2\over a^2b^2}-{1\over a^2} & \dots & \dots\\ \dots & {x^2\over a^2b^2}-{1\over b^2} & \dots\\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} \]对比上面的矩阵, 我们需要 \({H_{1,1}\over H_{1,2}}=-1\). 化简之后得到 \(x^2+y^2=a^2+b^2\). 这就是蒙日圆.
四. 交比与对合
接下来, 我们考虑代数对象: 二维矢量. 注意我们仍然考虑齐次坐标, 因此它们的几何对象会是一维的.
考虑某种线性变换 \(M\), 如果任意矢量 \(a\) 满足 \(M(Ma)=\lambda a\), 我们称 \(M\) 是 对合变换. 因为这种变换下, \(a\) 和 \(Ma\) 是配对关系, 二者地位相同.
由于 \(\begin{pmatrix}a & b\\ c& d\end{pmatrix}^{-1}=\kappa\begin{pmatrix}-d & b\\c & -a\end{pmatrix}\), 显然 \(a+d=0\) 时 \(M\) 是对合变换.
当然, 实际上还有 \(bc=0\) 且 \(a=d\) 的解, 但这样 \(M\) 就是恒等变换 (齐次坐标意义下), 因此不谈.
记 \(\epsilon=\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\), 这是个有用的矩阵. 两个向量的普通点积 \(x\cdot y=0\) 的解就是 \(y=\epsilon x\).
不难验证: 对称矩阵乘 \(\epsilon\) 会得到 \(a+d=0\) 的矩阵. 因此我们说: 对合变换由对称矩阵 \(M\) 定义, \(a,b\) 对合等价于 \((Ma)\cdot b=0\), 这里是普通点积.
若 \(Ma=\lambda a\), 称这样的 \(a\) 为对合变换的 不动点.
二维矢量的叉乘结果是实数, 简记为 \([ab]\), 因为它就是行列式. 同理, 三维矢量中的 \(a\cdot(b\times c)\) 可以简记为 \([abc]\).
我们用四个二维矢量 \(a,b,c,d\) 可以定义 交比 \(J_{ab,cd}={[ac][bd]\over[ad][bc]}\). 它有个强大之处: 某个线性变换 \(M\) 同时作用于 \(a,b,c,d\) 之上时, 交比不变, 因为分子分母只会同时乘 \(\det(M)^2\).
不难发现, 交比在齐次坐标下是良定义的 (不会算出不同结果).
构造三维行列式, 容易说明 \(a[bc]-b[ac]+c[ab]=0\), 再叉乘 \(d\) 即得 \([ad][bc]+[db][ac]+[ab][cd]=0\). 不难验证则有
\[J_{ab,cd}=\frac{1}{J_{ba,cd}}=1-J_{ac,bd} \]设 \(a,b,c,d\) 不共线, 则 \(J_{ab,cd}\ne 0\). 这立刻说明 \(J_{ac,bd}\ne 1\), 也就是说, 交比不可能为 \(1\).
若 \(J_{ab,cd}=-1\), 则称 \(a,b\) 与 \(c,d\) 互相 调和分割. 称 \(a,b,c,d\) 构成 调和点列.
如果某个对合变换中, \(p,q\) 是不动点, \(a,b\) 对合. 将 \(p,q,a,b\) 同时作该变换, 交比不变, 因此有 \(J_{pq,ab}=J_{pq,ba}={1\over J_{pq,ab}}\). 而交比不能为 \(1\), 这说明 \(p,q\) 调和分割 \(a,b\).
上面的讨论是二维矢量上的. 我们要在三维矢量空间内讨论之. 也就是说: 我们可能会取 \(V\) 的子空间 \(S\), 其中 \(\dim S=2\), 然后讨论其内的向量 (用二维矢量的方法). 交比在线性变化下不变, 因此是坐标系无关的; 在研究 \(S\) 内向量时, 我们可以任取基底而不影响其结果.
现在有定直线 \(\ell\) 和其上两点 \(a,b\), 它们是三维代数对象. 有两条直线 \(m,n\) 分别交 \(\ell\) 于 \(p,q\). 何时 \(a,b,p,q\) 构成调和点列?
假如我们有四个点的二维矢量 (代数对象), 则 \(J_{ab,cd}=-1\iff [pa][qb]+[qa][pb]=0\).
其中 \([pa]=(\epsilon p)\cdot a\), 这里是普通点积. 关键在于 \(\epsilon p\) 是什么? 考虑 \(m\in V^*\), 是个线性泛函; 现在我让它作用在 \(\ell\) 上的点, 而 \(\ell\) 上的点具有二维基底的坐标, 显然 \(m\) 也会因此拥有二维对偶基的坐标. 而 \(\epsilon p\) 就是过 \(p\) 点的直线! 所以 \(\epsilon p\) 就是 \(m\) 限制定义域的结果.
因此我们可以直接换回三维矢量, 得到 \((m_o\otimes n_o)\times_2(a^ob^o)=0\), 其中 \(\times_2\) 表示两个矩阵的 "内积" (对应位乘积的和). 有趣的是, 其中出现了二次点列 \(h_o=m_o\otimes n_o\). 以 \(h_o\) 为度规, 则 \(a\cdot b=0\) 当且仅当 \(h_o\) 代表的两条直线与 \(a\times b\) 的交点被 \(a,b\) 调和分割.
推广到非退化的二次曲线 \(G\). 以其为度规, 我们定义了点积. 那么对于 \(\ell\) 上的点, 在二维坐标下, 它们也会存在 \(G'\) 作为度规. 显然 \(G'\) 仍然是对称的. 因此 \(G'\) 给出了 \(\ell\) 上的对合变换.
而 \(G\) 与 \(\ell\) 有两个交点 \(p,q\) 时, 唯一解 \(G'=p_o\otimes q_o\). 显然 \(p,q\) 就是对合变换 \(G'\) 的不动点!
根据前述结论, 我们知道 \(a\cdot b=0\) 时 \(p,q\) 调和分割之. 换句话说: 若 \(a\cdot b=0\), 即 \(a\) 在 \(b\) 的极线上, 则 \(a\times b\) 与 \(G\) 的交点被 \(a,b\) 调和分割.
五. 二次交比
二次曲线 \(G\) 上取四个点 \(a,b,c,d\), 再任取 \(p\), 则这四个点与 \(p\) 所成直线是 \(\dim=2\) 的子空间, 可以定义交比. 与上一节的推导类似, 二维叉乘可以直接变为三维空间的线与点的内积. 于是 \(J_{ab,cd}=\frac{[pac][pbd]}{[pad][pbc]}\).
我们稍做处理. 根据行列式的性质, \([p^oa^oc^o]=\det(G)[p_oa_oc_o]\), 令线矢为行向量, 点矢为列向量, 则
\[\det(G)[p_oa_oc_o]^2 =det\begin{pmatrix} p_o\cdot p^o & p_o\cdot a^o & p_o\cdot c^o\\ a_O\cdot p^O & a_o\cdot a^o & a_o\cdot c^o\\ c_o\cdot p^o & c_o\cdot a^o & c_o\cdot c^o \end{pmatrix}\\ =det\begin{pmatrix} 0 & p\cdot a & p\cdot c\\ a\cdot p & 0 & a\cdot c\\ c\cdot p & c\cdot a & 0 \end{pmatrix} =2(p\cdot a)(p\cdot c)(a\cdot c) \]同理, 则最终得到 \(J^2_{ab,cd}={(a\cdot c)(b\cdot d)\over (a\cdot d)(b\cdot c)}\). 而 \(J_{ab,cd}\) 关于 \(p\) 是连续变化的, 因此 \(J_{ab,cd}\) 是常数 (而不是两个相反数胡乱变化).
因此, 对于二次曲线上的四个点, 我们也可以定义交比.
考虑调和点列, 只需 \(J^2=1\). 移项我们会拿到: \((a\times b)\cdot(c\times d)=0\).
一维点列 (一条直线) 的对合变换由不动点确定, 与不动点构成调和点列则对合. 二维点列类似: 若 \(p,q\) 是不动点, 则 \((a\times b)\cdot(p\times q)=0\) 给出 \(a,b\) 对合条件. 用 \(\ell=p\times q\) 做替换, 我们知道 \(\ell\) 给出了对合变换; 若 \(\ell\) 与 \(G\) 有交点, 则交点就是不动点.
它有什么用? 考虑这样的问题: 过椭圆上一点, 做两条直线, 斜率和为定值, 问两个交点 \(a,b\) 所连直线是否经过定点. 答案是肯定的: 斜率和为定值, 这是对合的. 而椭圆上的对合由直线 \(\ell\) 确定, 由上句可知, \(a,b\) 连线过 \(\ell\) 极点, 证毕.
而这个对合是很容易找到不动点的: 若斜率和为 \(s\), 则斜率为 \(s\over 2\) 的直线是不动的; 还有一条是 斜率不存在的直线, 即与 \(y\) 轴平行的直线.
从变换角度: 没有哪条直线可以跟这条直线对合, 因此这条直线必然跟自己对合, 是不动点. 从代数角度: 设点 \((x_0,y_0)\), 则斜率为 \(k\) 的直线的三维矢量 \((k,-1,y_0{-}kx_0)\). 从中可见, 以 \(i=(1,0,-x_0),\;j=(0,-1,y_0)\) 为基底, 坐标为 \((k,1)\), 对合矩阵是 \(\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}\). 无斜率直线的坐标则为 \((1,0)\), 明显看出这是不动点.
斜率之积为定值, 对合矩阵 \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -\beta\end{pmatrix}\), 不动点 \(k^2=\beta\). 我猜测它可能跑到复数平面内, 因此比较难以讨论.
\((1,0)\) 与 \((0,1)\) (无斜率和斜率无穷大) 对合, 因此不是不动点.
每天作业都做不完, 还学个屁啊.
况且, 相比于语文和化学, 数学成绩的不如意也尚且可以接受了.
到此为止. 不被考试所压迫的人, 可以自行研究.
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