高中选择性必修一内容
省流：独立发现妙妙结论
\(\Delta = A^2a^2+B^2b^2-C^2\)
引子
我是一个热爱过程的人，但是很明显我不爱计算
所以我有言曰：
遇到一个很通用的题目，我们要先苦后甜，先把字面的数字用字母换了，再代入计算。
然后我们把目光放到高中选择性必修一第114页（臭）的一道例题：
求直线 \(4x-5y+m=0\) 和椭圆 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 的交点情况（个数）
我寻思着反正要求一些离谱交点，我开始贯彻我的言论，我开始算：
求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的交点情况
解&分析：
我们就按照书上的内容来：
可知交点坐标满足：\(\begin{cases}Ax+By+C&=0\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}&=1\end{cases}\)
我们学习书本借助直线 \(l\) 的方程拿 \(x\) 表示 \(y\)
很明显过程要严谨，所以对于 \(B\)：
情况 \(1\)，\(B=0\)
由直线 \(l\) 方程我们有 \(Ax+C=0\)，
如果 \(A\) 也是 \(0\) 那它就不是一个直线的方程了，所以必然有 \(x=-\dfrac{C}{A}\)
由椭圆的横坐标范围是 \(\left[-a,a\right]\)，那么我们讨论 $-\dfrac{C}{A} $ 和 $ \left(-a,a\right)$ 的关系即可
简单讨论可知 \(l\) 和 \(C\) 关系为\(\begin{cases} \text{相交}&-\frac{C}{A} \in \left(-a,a\right)\\ \text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\ \text{相离}&-\frac{C}{A} \notin \left[-a,a\right] \end{cases}\)
化简条件后：
\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&C^2 < A^2 a^2\\ \text{相切}&C^2 = A^2 a^2\\ \text{相离}&C^2 > A^2 a^2 \end{cases}\]情况 \(2\)，\(B\not=0\)
由直线 \(l\) 方程有：\(y=-\dfrac{Ax+C}{B}\)
直接代入椭圆方程可得：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1\)
写好看点得到：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1\)
小阶段发挥人类吃苦耐劳精神：
\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}+\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]\[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2+\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]我们成功得到了一个一元二次方程，\(l\) 和 \(C\) 的交点个数很明显就是这个方程根的个数。
哦对对对，我们没有证明这是一个一元二次方程：因为还需说明 \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq 0\)
额 \(\dfrac{1}{a^2}>0\) 和 \(\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\ge 0\) 解决
所以我们随心所欲套入一元二次方程的根的判别式：
\(\Delta = \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\times\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\times\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\)
接下来开始全面发挥人类吃苦耐劳精神（我尽量不跳步骤）：
\(\begin{aligned} \Delta &= \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 b^2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)+4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}-\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}\\ \end{aligned}\)
好好好到了这一步已经十分公整了
我们知道有：
\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&\Delta > 0\\ \text{相切}&\Delta = 0\\ \text{相离}&\Delta < 0 \end{cases}\]很明显我们只要能够得到 \(\Delta\) 与 \(0\) 的大小关系的等价命题也可以
所以我们可以进一步把这个 \(\Delta\) 弄成更加简单的形式，例如乘或除一个正数
所以给 \(\Delta\) 乘上它的分母 \(B^2 a^2 b^2\) 再除去 \(4\) 后：
\[\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2 \]写成 \(\Delta'\) 以便区分
可以发现有一种怎么说……很对称的美（确信）
并且如果代入 \(B=0\) 并和前文比较过后，会发现这一结论其实也符合 \(B=0\) 的情况。
综上，我们得到以下结论：
对于任意直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，都有：
\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&\Delta' > 0\\ \text{相切}&\Delta' = 0\\ \text{相离}&\Delta' < 0 \end{cases}\]
其中 \(\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2\)
深入
接着由于提前颓废数学不会很多圆锥曲线的二级结论
然后我就寻思不会了呀，然后闲来无事
所以我尝试康康对于双曲线是怎么样的
简单而言就是：
求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和双曲线 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的交点情况
很明显这个只是双曲线的一种情况（交点在 \(x\) 轴上），但是我们事后可以利用一些变换
十分明显对于 \(B=0\) 的情况还是和前文一样，只不过要变成：
\(l\) 和 \(C\) 关系为\(\begin{cases} \text{相交}&-\frac{C}{A} \notin \left(-a,a\right)\\ \text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\ \text{相离}&-\frac{C}{A} \in \left[-a,a\right] \end{cases}\)
化简条件后：
\[\text{$l$ 和 $C$ 关系为}\begin{cases} \text{相交}&C^2 > A^2 a^2\\ \text{相切}&C^2 = A^2 a^2\\ \text{相离}&C^2 < A^2 a^2 \end{cases}\]正题情况 \(2\)，\(B\neq0\)
还是由直线 \(l\) 方程有：\(y=-\dfrac{Ax+C}{B}\)
还是生硬代入得到：\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1\)
写好看点得到：\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1\)
照旧化简：
\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}-\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]\[\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]我们成功得到了一个一元二次方程
哦不对不对，这个不一定是一个一元二次方程
情况 \(2.1\)，\(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=\dfrac{2AC}{B^2 b^2}=0\)
很简单啊，条件转化为：\(\begin{cases} B^2 b^2 = A^2 a^2\\ AC=0\\ \end{cases}\)
结果等式变为：\(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=0\)
也就是：\(C^2 + B^2 b^2 = 0\)
如果方程成立
则有 \(C=Bb=Aa=0\)
显然在双曲线方程里看出：\(a,b\neq0\)
所以有 \(A=B=C=0\)
这还是个der的直线方程啊，直接舍去
所以这个东西一定不成立，此时无解
情况 \(2.2\)，\(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=0 \bigwedge \dfrac{2AC}{B^2 b^2}\neq0\)
很简单啊，条件转化为：\(\begin{cases} B^2 b^2 = A^2 a^2\\ A,C\neq0\\ \end{cases}\)
结果等式变为：\(-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x=\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=\dfrac{C^2+B^2 b^2}{B^2 b^2}\)
有 \(x=-\dfrac{C^2+B^2b^2}{2AC}=-\dfrac{C^2+A^2a^2}{2AC}=-\dfrac{C}{2A}-\dfrac{A}{2C}a^2\)
就这一个解
情况 \(2.3\),\(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq0\)
所以有 \(A^2a^2\neq B^2b^2\)
自信写出 \(\Delta\)：
\[\Delta=\left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right) \]自信化简：
\(\begin{aligned} \Delta &=\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right)\\ &=\dfrac{4C^2}{a^2B^2b^2}+\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{4A^2}{B^2b^2} \end{aligned}\)
同样自信乘上正数简化
\[\Delta'=C^2+B^2b^2-A^2a^2 \]总结以后再写