采样定理

标签：采样 infty frac 定理 theta pi omega mathrm

信号\(x(t)\)的频谱为 \(X(\mathrm{j}\omega)\)。
对信号使用周期单位冲激串采样得到采样信号 \(x_p(t)\):

\[x_p(t) = x(t)p(t) \]

其中，\(p(t)\)为采样函数， 是周期为 \(T\)的周期单位冲激串, 并且 \(p(t)\) 的基波频率 \(\omega_s=\frac{2\pi}{T}\)。 采样函数如下：

\[p(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT) \]

周期为\(T\)的单位冲激串函数\(p(t)\) 的傅里叶变换为强度为 \(\frac{2\pi}{T}\) 周期为 \(\frac{2\pi}{T}\)的周期冲激串:

\[\begin{aligned} P(\mathrm{j}\omega)&=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T}) \\ &=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-k\omega_s) \end{aligned} \\ 其中，\omega_s=\frac{2\pi}{T} \]

根据冲激函数的采样性质，\(x_p(t)\) 为一个冲激串，每个冲激的强度等于 \(x(t)\) 在以 \(T\) 为间隔处的样本值。采样过程如下图：

采样得到信号为：

\[x_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t - nT) \]

根据傅里叶变换的相乘性质：

\[r(t)=s(t)p(t)\longleftrightarrow R(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S(\mathrm{j}\theta)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta \]

可得：

\[x_p(t)=x(t)p(t)\longleftrightarrow X_p(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\theta)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta \]

因为冲激函数的采样性质， \(X(\mathrm{j}\omega) P(\mathrm{j}(\omega-\theta)）\) 的积分只在 \(\omega=\theta\) 的位置不为0，因此根据上式有：

\[\begin{aligned} X_p(\mathrm{j}\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\theta)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\omega)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta \end{aligned} \]

已知周期单位冲激串的傅里叶变换为：

\[P(\mathrm{j}\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-k\omega_s) \]

因此， \(X_p(\mathrm{j}\omega）\) 就是 \(X(\mathrm{j}\omega）\) 与上式中每个分量冲激的卷积结果之和。
而信号与一个冲激的卷积结果为信号在冲激位置的位移，即 \(x(t)*\delta(t-T)=x(t-T)\), 那么有:

\[X(\mathrm{j}\omega)*\delta(\omega-k\omega_s)=X(\mathrm{j}(\omega-k\omega_s))\]

结合上面三式，有：

\[X_p(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\mathrm{j}(\omega-k\omega_s) \]

结果是采样得到的信号 \(x_p(t)\) 的频谱是原信号 \((t)\) 的频谱以 \(\omega_s\)为周期重复的函数，即频谱被周期性地复制在间隔为 \(\omega_s\) 的原频谱两侧，同时幅度变为原来的 \(\frac{1}{T}\)。

从上图可见，两个重复频谱的间隔为 \(\omega_s-2\omega_M\), 其中 \(\omega_M\) 为原信号频谱的截止频率（带限），当 \(\omega_s>2\omega_M\) 时，复制的频谱没有重叠，此时将采样得到的信号 \(x_p(t)\) 经过一个通带 \(\omega_c\)在 \(\omega_M\)和\(\omega_s-\omega_M\)范围内的低通滤波器，并对幅度加以 \(T\) 倍的增益，那么，输出的信号\(x_r(t)\)将完全还原为 \(x(t)\)，即 \(X_r(\mathrm{j}\omega)=X(\mathrm{j}\omega)\), 这就是采样定理。

标签：采样,infty,frac,定理,theta,pi,omega,mathrm
From： https://www.cnblogs.com/SPDH/p/17364902.html