前言
今天学习的高等数学的部分，即使是在whk也能有很大的运用空间，需要好好掌握，尤其是这次讲课内容较为基础，必要时可反复复习！
从极限开始
\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 表示当x趋近于\(x_0\)时\(f(x)\)对应的取值
$ \frac{1}{无穷大}=无穷小 $（无穷大不等同于正无穷）
\(e的定义：e=\lim_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x})^x\)
等价无穷小:若 \(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\) ,则可以用表示\(f(x)\sim g(x)\)表示它们是等价的无穷小，这样就可以在运算极限值时将二者直接互相代换
常见：
\[\sin(x)\sim x \]\[\cos(x)\sim 1-\frac{x^2}{2} \]\[\ln(1+x)\sim x \]\[e^x-1\sim x \]\[(1+x)^a\sim ax \]\[a^x-1\sim ln(a)x \]\[log_a{x+1}\sim \frac{x}{lna} \]导数初步
导数可以把它简单地理解为函数的变化率，或者是函数图像上过某一点图像切线的斜率。其用途非常广泛，需重点关注。
对函数\(f(x)\)求导可记作\(f^\prime(x)\)
导数表
\[(C)^\prime=0 \]\[(x^a)^\prime=ax^{a-1} \]\[(\sin(x))^\prime=\cos(x) \]\[(\cos(x))^\prime=-sin(x) \]\[(a^x)^\prime=ln_a\cdot a^x，特殊地，(e^x)^\prime=e^x \]\[(log_ax)^\prime=\frac{1}{xln_a}，特殊地，(ln_x)^\prime=\frac{1}{x} \]导数运算
\[[u(x)\pm v(x)]^\prime = u^\prime(x)\pm v^\prime(x) \]\[[u(x) * v(x)]^\prime = u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x) \]\[[\frac{u(x)}{v(x)}]^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)} \]\[[f(g(x))]^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \]总之熟能生巧，勤加练习后不需死记硬背即可牢固掌握。
洛必达法则
神！洛必达法则天下第一！看到lim就是一个洛！(逃
洛必达法则:$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}$$
当然洛必达法则在使用时是有前提的，当x趋近于\(x_0\)时\(f(x)与g(x)\)必须同时趋近于0（注意只能是0，不能是其它常数，小心洛着洛着极限值变为1还在洛就出事了），或者是同时趋近于无限，即必须是\(\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}\)型。特殊地，\(0\cdot\infty\)型也可以洛，在这种情况下可以将\(\infty\)型转化为\(\frac{1}{0}\)型，或将0型转化为\(\frac{1}{\infty}\)型思考
泰勒展开
直接上公式:若\(f(x)在x_0处有n阶导数，那么对于x_0邻域中的x有\) $$f(x)=f(x_0)+\frac{f^\prime(x_0)(x-x_0)}{1!}+ \frac{f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0) ^2 }{2!}+......+ \frac{f^{(n)}(x-x_0) ^n}{n!}+ o((x-x_0)^n)$$
其中\(o((x-x_0)^n)\)表示高阶无穷小，即该数列第n项之后所有项的和，虽然值已经小到趋近0，但是依然需要加上这一部分，否则这个数列只能无限逼近\(f(x)\)而不能等于\(f(x)\)
此时如果将\(x_0=0\)代入则可以得到函数在0处展开的样子，即泰勒展开的特殊情况——麦克劳林公式：$$f(x)=f(0)+\frac{f^\prime(0)x}{1!}+ \frac{f^{\prime\prime}(0)x ^2}{2!}+......+ \frac{f^{(n)}(0)x ^n}{n!}+ o(x^n)$$
不过只需记住泰勒展开就可以了，个人感觉没有必要两个都记下来
运用
在我们熟练掌握了泰勒展开及其衍生变形后，我们就可以轻松做到一些平常想都不敢想的事了，手撕根号，三角函数，ln,e的幂次都不在话下，只需将上式的\(f(x)\)换为我们想要的函数，公式：
\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \]\[ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+\frac{x^n}{n}\cdot(-1)^{n+1}+o(x^n) \]\[(1+x)^{\frac12}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-...+\frac1{2^{n+1}}x^n+o(x^n) \]\[sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1}) \] 标签：prime,infty,frac,ln,lim,高等数学,sim From： https://www.cnblogs.com/sa-ka-na/p/17103990.html