无约束极值
定义：若在点$(x_{0},y_{0})$的某邻域内恒成立不等式
$$
f(x,y)\leq f(x_{0},y_{0})\quad (f(x,y)\geq f(x_{0},y_{0}))
$$
则称$f$在点$(x_{0},y_{0})$取得极大值（极小值），点$(x_{0},y_{0})$称为$f$的极大值点（极小值点），极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点
定理（极值的必要条件）：设$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$存在偏导数，且$(x_{0},y_{0})$为$f(x,y)$的极值点，则
$$
f_{x}(x_{0},y_{0})=0,f_{y}(x_{0},y_{0})=0
$$
也可表述为
$f(x,y_{0})$在$x=x_{0}$处的导数等于$0$，$f(x_{0},y)$在$y=y_{0}$处的导数等于$0$
极值点只可能在驻点和$f_{x},f_{y}$至少有一个不存在的点
定理（极值的充分条件）：设$z=f(x,y)$在点$P(x_{0},y_{0})$的某邻域内有二阶连续偏导数，又$f_{x}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0})=0$，记$A=f_{xx}(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}(x_{0},y_{0})$，则
-
当$AC-B^{2}>0$时，有极值，若$A>0$为极小值，若$A<0$为极大值
-
当$AC-B^{2}<0$时，无极值
-
当$AC-B^{2}=0$时，不一定（一般用定义判定）
条件极值与拉格朗日乘数法
函数$f(x,y)$在条件$\phi (x,y)=0$条件下的极值
令$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$
$$
\left{\begin{aligned}&F_{x}=f(x,y)+\lambda \phi_{x}(x,y)=0\
&F_{y}=f_{y}(x,y)+\lambda \phi_{y}(x,y)=0\
&F_{\lambda}=\phi(x,y)=0\end{aligned}\right.
$$
函数$f(x,y,z)$在条件$\phi(x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$条件下的条件极值
令$F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)$
设给定目标函数$f(x,y)$，约束条件为$\phi(x,y)=0$
如图所示，曲线$L$为约束条件$\phi(x,y)=0$，$f(x,y)=C$为目标函数的等值线族
在$f(x,y),\phi(x,y)$偏导数都连续的条件下，目标函数$f(x,y)$在约束条件$\phi(x,y)=0$下的可能极值点$M(x_0,y_0)$，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点
因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点$M(x_0,y_0)$处法向量${f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)}$与约束条件曲线在点$M(x_0,y_0)$处法向量${\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)}$平行，即
$$\begin{aligned}\frac{f'_x(x_0,y_0)}{\phi'_x(x_0,y_0)}=\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)}\end{aligned}$$
也就是说存在实数$\lambda$，使下式成立
$${f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)}+\lambda{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)}=0$$
需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数$f(x,y)$在约束条件$\phi(x,y)=0$下的极值点（如图中的$M_2$点）
![![[附件/ae51f3deb48f8c542b093a4c30292df5e1fe7fff.webp]]](/i/li/?n=2&i=images/blog/202210/23102321_6354a599edbf67666.png?,size_14,text_QDUxQ1RP5Y2a5a6i,color_FFFFFF,t_30,g_se,x_10,y_10,shadow_20,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk=)
最大最小值
求连续函数$f(x,y)$在有界闭域$D$上的最大最小值
-
求$f(x,y)$在$D$内部可能的极值点（无约束极值）
-
求$f(x,y)$在$D$的边界的最大最小值（条件极值）
-
比较
应用题
-
建立函数关系
-
求$f(x,y)$在$D$内部可能的极值点（无约束极值）
-
求$f(x,y)$在$D$的边界的最大最小值（条件极值）
-
比较
常考题型方法与技巧
求极值（无条件）
例1：设函数$z=f(x,y)$的全微分为$dz=xdx+ydy$，证明点$(0,0)$是$f(x,y)$的极小值点
可以用极值的充分条件，这里不展示过程。这里展示偏积分的方法得到原函数
函数$z=f(x,y)$的全微分为$dz=xdx+ydy$，可知
$$
z_{x}=x,z_{y}=y
$$
由$z_{x}=x$，偏积分得
$$
z=\int_{}^{}xdx=\frac{1}{2}x^{2}+\phi(y)
$$
再代入$z_{y}=y$，确定$\phi(y)$
$$
\begin{aligned}
z_{y}&=\phi'(y)\
\Rightarrow \phi'(y)&=y\
\int_{}^{}\phi'(y)dy&=\int_{}^{}ydy\
\phi(y)&=\frac{1}{2}y^{2}+C\
z&=\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C
\end{aligned}
$$
根据定义后面不再展示过程
还可以通过凑微分得到原函数
$$
\begin{aligned}
dz&=xdx+ydy\
dz&=d (\frac{1}{2}x^{2})+d (\frac{1}{2}y^{2})\
dz&=d(\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2})\
z&= \frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C
\end{aligned}
$$
根据定义后面不再展示过程
求最大最小值
例2：求函数$u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$在约束条件下$z=x^{2}+y^{2}$和$x+y+z=4$下的最大值和最小值
设
$$
F(x,y,z,\lambda,\mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}-z)+\mu(x+y+z-4)
$$
有
$$
\left{\begin{aligned}
&F_{x}=2x+2\lambda x+\mu=0\
&F_{y}=2y+2\lambda y+\mu=0\
&F_{z}=2z-\lambda+\mu=0\
&F_\lambda=x^{2}+y^{2}-z=0\
&F_{\mu}=x+y+z-4=0\end{aligned}\right.
$$
解得$(x_{1},y_{1},z_{1})=(1,1,2),(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)$
故所求的最大值为$72$，最小值为$6$
例3：已知$z=f(x,y)$的全微分$dz=2xdx-2ydy$且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在$\begin{aligned} D=\left{(x,y)\Big|_{}^{}x^{2}+ \frac{y^{2}}{4} \leq 1\right}\end{aligned}$上的最大最小值
先找$f(x,y)$，这里用凑微分（偏积分也行）
$$
\begin{aligned}
dz&=2xdx-2ydy\
dz&=dx^{2}-dy^{2}\
dz&=d(x^{2}-y^{2})\
z&=x^{2}-y^{2}+C\
&代入f(1,1)=2\
2&=1-1+C \Rightarrow C=2\
z&=x^{2}-y^{2}+2
\end{aligned}
$$
令$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0,\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0\end{aligned}$，得驻点为$(0,0)$
接下来可以用拉格朗日乘数法，运算不难，这里不展示步骤。考虑另一个思路，由于已经知道了约束条件，该约束条件可以代入$z=f(x,y)$，化条件为无条件
由于点在$x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1$上，有
$$
\begin{aligned}
z&=x^{2}-(4-4x^{2})+2\quad x \in [-1,1]\
z&=5x^{2}-2\
z_{\max}&=z \Big|_{x=\pm 1}^{}=3\
z_{\min}&=z \Big|_{x=0}^{}=-2
\end{aligned}
$$
因此最大值为$3$，最小值为$-2$
对于圆和椭圆可以用参数方程化条件为无条件
椭圆$\begin{aligned} x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1\end{aligned}$的参数方程为
$$
\left{\begin{aligned}&x= \cos t\&y=2 \sin t\end{aligned}\right.
$$
则
$$
\begin{aligned}
z=f(x,y)&=x^{2}-y^{2}+2\
&=\cos ^{2}t-4\sin ^{2}t+2\
&=3-5\sin ^{2}t \quad t \in [0,2\pi]
\end{aligned}
$$
标签：phi,高等数学,frac,进阶,begin,aligned,极值,最值,lambda From： https://blog.51cto.com/u_15767241/5787188