高等数学考点笔记

Date: 2023-01-03 18:02:50

考点：无穷小的比较

１.无穷小阶的概念
若\(\alpha,\beta\)在同一过程下的无穷小

1. \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=0,则称\alpha是比\beta高阶的无穷小，记做\alpha=0\)
2. \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=\infty,则称\alpha是比\beta低阶的无穷小\)
3. \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=c,且c\ne 0,则称\alpha与\beta是同阶的无穷小\)
4. \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=1,则称\alpha与\beta是等价的无穷小，记做\alpha \sim \beta\)

2.等价无穷小代换
\(若\alpha \sim \alpha',\beta \sim \beta',则\lim \frac{\alpha}{\beta}=\lim \frac{\alpha'}{\beta'}\)
注：只有乘除时可等价无穷小代换
例题

1. \[当x\rightarrow时，f(x)与1-\cos x等价，则\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x \sin x }=? \]

2. \[求极限\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{e^{x^3}-1} \]

考点：函数的间断点

定义：不连续的点 [ 连续 \(\lim_{x\to x^0}f(x)=f(x_0)\) ]
分类

1. 第一类间断点（左右极限都存在）

   • 可去间断点
     • 极限存在但不等于该点函数值
     • 极限存在但该点无定义
   • 跳跃间断点：左右极限不相等

2. 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

   • 无穷间断点：左右极限至少有一个为 \(\infty\)
   • 振荡间断点：\(y=\sin \frac{1}{x}在x=0处间断，y=\cos x, y=\sin^2\frac{1}{x}\)

例题

1. 设函数\(y=\frac{x^2-4}{x(x-2)}，则x=0是函数的▁.\)
2. 设\(x=0 是函数f(x)=\arcsin \frac{1}{x}的▁.\)