不定积分与“积分”并没有关系，它只是基于导数定义出来的“求导的逆运算”。从某种意义上，它没有涉及任何新的理论，只是通过导数的运算法则推出的一些逆运算的运算技巧。
定义与记号
函数\(f(x)\)的不定积分是由它的所有原函数组成的函数族（集合）。定义
\(\int f(x) dx:=\{F(x)|F'(x)=f(x),\forall x \in I\}\)
如果某一个\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么\(f(x)\)的不定积分一定可以表示成\(F(x)+C\)的形式，其中\(C\)是全体实数。换句话说，不定积分集合里的所有元素一定是一些只相差常数的函数。因为对于其它\(G(x)\)，根据\(G'(x)=f(x)\)，\(F'(x)=f(x)\)，两式相减得到\([G(x)-F(x)]'=0\)。我们根据微分中值定理已经证明了导数恒为0的函数必定是常数函数。所以一定有\(G(x)=F(x)+C\)。因此不定积分的定义可以改写为：
\(\int f(x) dx:=\{F(x)+C|F'(x)=f(x),C \in \R,\forall x \in I\}\)
严格来看，这只是一个用来表示原函数集合的记号，没有单独指明积分号\(\int\)和\(dx\)分别有什么含义。然而，使用这样的记号有很多方便的地方，我们可以通过证明它的运算性质来把\(dx\)当作微分、把\(\int\)当作微分的逆运算来使用。
例如，我们会把1省略，把\(\int 1dx\)简记为\(\int dx\)，而我们可以形象地把它理解为\(d\)与\(\int\)作为互逆的运算互相抵消；把\(\int \dfrac{1}{f(x)}dx\)简记为\(\int \dfrac{dx}{f(x)}\)，这也只是写法上方便，并不意味着\(dx\)是一个实数。
不定积分的定义没有默认自变量必须是\(x\)，就好像导数的定义没有默认必须对\(x\)求导。
线性性
基于导数运算的线性性，我们有不定积分的线性性：
\(\int [k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2 \int g(x)dx+C\)
只需要验证两侧的函数集合完全相同。设\(f(x)\)的原函数为\(F(x)\)，\(g(x)\)的原函数为\(G(x)\)，那么左侧的集合可以表示为\(k_1F(x)+k_2G(x)+C_0\)；右侧集合可以表示为\(k_1(F(x)+C_1)+k_2(G(x)+C_2)+C\)\(=k_1F(x)+k_2G(x)\)\(+(k_1C_1+k_2C_2+C)\)。
线性性告诉我们，我们可以分拆和式的项，可以提出常数因子。
换元积分法
基于导数运算的链式法则，我们有不定积分的换元积分法。
第一类换元法（凑微分法）
比如在求\(\int \dfrac{xdx}{1+x^2}\)的过程中，我们可以把\(xdx\)看作微分，换为\(\dfrac{1}{2}d(x^2)\)，然后令\(u=x^2\)做积分，得到关于\(u\)的结果以后在用\(x^2\)代换\(u\)。事实证明这样做的确是完全正确的，只要我们能严格证明：
\(\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(g(x))d(g(x))\)
其中这里的\(f(g(x))\)应当被理解成任意的一个函数，而这个函数可以被看作对\(g(x)\)的复合，这样我们的“换元”才有意义。如果这能成立，就再次说明积分表达式中的\(d\)可以像微分一样被看待，微分的公式可以直接被应用到积分中，同时保证计算的正确性。
Pf：如果有\(F'(x)=f(x)\)，那么根据复合函数求导的链式法则得到\([F(g(x))]'=f(g(x))g'(x)\)，因此有\(\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C\)。其中右侧根据不定积分的定义，就等于\(\int f(g(x))d(g(x))\)。
第二类换元法（代入换元法）
第二类换元法是第一类换元法的“逆换元”。比如在求\(\int \sqrt{1-x^2}dx\)的过程中，我们可以令\(x=\sin t\)，求得关于\(t\)的结果后再用\(x\)表示\(t\)。当然这要求\(x,t\)要能一一对应，即用来换元的函数要是单调的（加上限制区间）能有反函数。我们只需证明：
\(\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))d(\varphi(t))=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\)，其中\(\varphi(t)=x\)
第一个等号是天然成立的，因为它只不过是改变了\(x\)的相貌；第二个等号就是上面已经证过的命题只是左右颠倒了而已。