数列极限与实数系基本定理（待续……）

数列极限的定义与性质

如果\(\exists A \in \R\)，\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N\)使得\(\forall n>N\)成立\(|a_n-A|<\varepsilon\)，则称数列\(a_n\)的极限是\(A\)，或\(a_n\)收敛于\(A\)。否则，称\(a_n\)发散。发散不同于极限趋向无穷，趋向无穷要求能使得\(\forall n>N\)成立\(|a_n|\)大于任意给定的\(G\)。

根据定义可以证明收敛数列极限是唯一的，收敛数列是有界的。数列极限有保号性，满足四则运算法则，满足夹逼性。收敛数列的每个子列都收敛，且收敛于同一极限。我们可以用定义判定数列收敛还是发散。

实数系的基本定理

确界存在定理

任何一个有界数集都能找到实数作为它的上下确界，这是实数系的一个基本特点。有上界的数集有上确界：逐位考察十进制小数的每一位，每一次找出最大的那一个（从0到9枚举，肯定有一个最大的），最后我们就构造出了这个确界。下确界同理。

单调有界数列必收敛。

根据确界的定义，我们可以使单调有界数列满足数列极限的定义，证明它必定收敛。

单调递增的有界数列的极限是它的上确界。下确界同理。如果存在一个大于极限的项，那么这一项以后全都大于极限，这将与极限的定义矛盾。同时，只要取的数必上确界小一点点，根据极限的定义就可以找到这之间的项。

闭区间套定理

一列闭区间套，如果最终边界趋向同一个值，那么存在唯一的实数被套在所有闭区间里，这个数就是边界的极限值。所有区间左边界构成的数列是单调有界的，因此极限值就是左边界的上确界，右边也是同理。夹逼一下，就得到了这个唯一的数。

有界数列必有收敛子列

把数列的界二等分，至少有一个区间有无穷个项。不断二分，得到一个任意窄的区间里有无穷个项。这无穷个项一定能构成一个子列，这个子列满足收敛的定义。

Cauchy收敛原理

任意给定一个很小的正数，如果能找到从某一项开始数列的最大摆动幅度不超过这个正数，那么数列就收敛。首先，能让摆动幅度不超过这个数的数列一定是有界的。那么它一定有收敛子列。既然\(|a_n-a_m|\)可以小于任意值，我们让\(m\)全都取在这个子列上，那么当\(m\)充分大的时候，\(|a_n-\lim a_m|\)也可以小于任意值。这就证明了\(a_n\)收敛。

由于收敛数列一定能使摆动幅度小于任意值，所以这个条件和数列收敛是充分必要的。

The Big Picture

我们用十进制小数构造的方式证明了实数系有确界存在定理，由此推出单调有界数列必收敛，由此推出闭区间套定理，由此推出有界数列必有收敛子列，由此推出Cauchy收敛原理。现在我们倒过去，从Cauchy收敛原理推闭区间套定理，再推确界存在定理，这就说明这五个定理是完全等价的，他们统称为实数系基本定理。

Cauchy收敛原理\(\Rightarrow\)闭区间套：由于\(0\leq a_m-a_n<b_n-a_n\)，夹逼得到\(a_m-a_n\)收敛，所以\(a_n\)满足Cauchy收敛原理的条件。\(b_n\)同理。所以\(a_n,b_n\)都收敛，由于单调性\(a_n\)的极限大于等于所有\(a_n\)，\(b_n\)的极限小于等于所有\(b_n\)。所以这两个极限都能落在闭区间套里。如果这两个极限不相同，那\(b_n-a_n\)就不能收敛到0了。这就证明了闭区间套定理。

闭区间套\(\Rightarrow\)确界存在：对于有上界的数集（下界同理），先定一个区间，使得上边界是一个上界，下边界不是。于是，我们不断二分这个区间，始终保持这种“横跨”，最后套出来的这个点就满足上确界的定义。

重要命题与思想

Cauchy命题

若\(a_n\)收敛于\(A\)，那么\(a_1\)到\(a_n\)的算术平均值也收敛于\(A\)。直观来看，当\(n\)充分大的时候前面的项都可以忽略不计。严格来看，我们把它分成两部分，并把\(A\)放到分子上，分配到每一项上。考虑分子，前半部分是有限的，整个直接趋向0；后半部分每一个都小于\(\varepsilon\)，总体依然小于\(\varepsilon\)乘上某个系数。

Cauchy命题对于无穷的情形也是正确的。

把\(a_n\)看作某个数的对数，就得到若数列收敛于\(A\)，那么从1到n的几何平均值也收敛于\(A\)。

反例

收敛数列的前缀和不一定收敛，调和级数就是反例。