在本文中，我尝试利用实数的完备性公理，按照一定路径证明六个经典而深刻的命题，分别是单调有界定理、柯西收敛原理、确界原理、闭区间套定理、极限点原理、和有限覆盖定理，以作为我这个月数分学习的总结。也许未必值得指出，我们学校现行数分教材编排体系出现了一定程度的混乱，其根本原因

1，自然数公理以及数学归纳法2，实数均可表示为小数，但小数有规范小数。（因为存在非规范小数，标准不统一）。存在顺序=》三歧性，大小比较=》传递性。存在稠密行（利用·规范小数在a与b的分歧处构造c）。实数系的连续性，即确界原理。上界是根据实数的三歧性定义出来的，即有大小=》有界概念=》但有

R实数集合最重要的基本性质:连续性(完备性:Q有理数+IR.无理数即无限不循环小数)数系的扩充历史自然数集合N:关于+加法与*乘法运算是封闭的，但是N关于-减法运算并不封闭。整数集合Z:关于+加法、-减法和*乘法都封闭了，但是Z关于/除法运算不封闭的。整数集合Z

§2.数集▪ 确界原理掌握区间和邻域的概念。掌握有界集和无界集的定义，能够证明一个数集是否是有界集（例1）。掌握上（下）确界的定义，能够计算一个给定数集的上（下）确界（例2、例5）。确界原理。重点习题：习题2、4、5、6，习题2、5、6的结论需要背下来。  上确界的另一种定义：S是中的

一、概述Ο，读音：big-oh；表示上界，小于等于。Ω，读音：bigomega、欧米伽；表示下界，大于等于。Θ，读音：theta、西塔；既是上界也是下界，称为确界，等于。ο，读音：small-oh；表示上界，小于。ω，读音：smallomega；表示下界，大于。Ο是渐进上界，Ω是渐进下界。Θ需同时满足大Ο和Ω，故称为确界。Ο极其有用，

面积（测度）我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶主体的体积”等等。我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”

函数性质单射：y=kx+b，一个x只对应唯一一个y，但y可以对应多个x一一对应：若x1！=x2，则y1！=y2（只有一一对应函数才有反函数）函数的有界性非空实数集E中，有实数M，m若存在实数M，满足有X

函数性质单射：y=kx+b，一个x只对应唯一一个y，但y可以对应多个x一一对应：若x1！=x2，则y1！=y2（只有一一对应函数才有反函数）函数的有界性非空实数集E中，有实数M，m若存在实数M，满足有X

数列极限的定义与性质如果\(\existsA\in\R\)，\(\forall\varepsilon>0\)，\(\existsN\)使得\(\foralln>N\)成立\(|a_n-A|<\varepsilon\)，则称数列\(a_n\)的极限是\(A\)，或