函数性质
单射：y=kx+b，一个x只对应唯一一个y，但y可以对应多个x
一一对应：若x1！=x2，则y1！= y2（只有一一对应函数才有反函数）
函数的有界性
非空实数集E中，有实数M，m
若存在实数M，满足有X属于E，且X小于等于M，则称M是E的上界，并称E是有上界的集合
若存在实数M，满足有X属于E，且X大于等于m，则称m是E的下界，并称E是有下界的集合
如果一个集合既有上界又有下界，则称之为有界，该集合为有界集
上确界：集合的最小上界
下确界：集合的最大下界
数字化定义：
如果存在这样一个实数B，满足：
1：任意x属于E，有x<=B
2：对于任意正实数w,存在E中任意数X0 ＞= （B-w)
那么就称B是E的上确界
记为B=supE或sup{x} ,x属于E（下确界是infE)
上确界不一定在集合中，比如（0，1）在supE=1
确界原理：
非空数集中有上界必有上确界；
非空数集中有下界必有下确界
证明：
设有非空有上界实数集合E
如果E有最大数，结论一定成立，因为这个数就是上确界
如果E无最大数，用T表示E所有上界全体，则T交T补=空，T并T补=R
对任意t属于T补，因为t不是E的上界，由此存在X0属于E，使得t<X0
任取t1属于集合T，由此有X0<=t1,
所以有t<t1
由戴德金分割原理：
t有最大数t1无最小数；
t无最大数t1有最小数。
如果后者成立，则有上界一定有上确界
如果前者成立，记a为t中最大数
由E∩T=空集，则E属于T补，则a是E的上界，由此a∈T，所以a∈T∩T补，而T∩T补=空集，这产生了矛盾，所以不会出现a是t中最大数的情况
由此可证：
有上界一定有上确界
证明：
非空数集中有下界必有下确界
设有非空实数集E有下界
将E中每个元素*-1，则E变为有上界的非空数集F，而有上界一定有上确界，
∴F一定有上确界β，
∴X∈E，有-x<=β，
∴有x>=-β
而任给正数c，存在X0∈E，有-X0 > β-c
∴X0 < -β + c
由下确界的意义可得
-β是E的下确界
-β=inf E;
函数的单调性
意味着常值函数也是单调函数
定理1.1
若y=f（x),x属于D
是严格单调函数，则一定有反函数
且反函数严格单调
反之不成立（即有反函数不一定有严格单调函数）
函数的奇偶性
奇函数f(0)=0
函数的周期性
判断函数相同的条件
基本初等函数
一次和二次函数
-（b/2a)>0开口向上，<0开口向下
幂函数
幂函数系数一定为：1
指数函数
对数函数
换底公式
三角函数
最常见的是sin,cos,tan,cant,secant（简称sec)=（1/cos(x)),cosecant（简称csc)=(1/sin(x))
反三角函数
取整函数 :[x]
x-1 < [x] <= x;
一个数进行取整的结果要小于等于原数大于原数加一;
[2.1]=2;
[-2.1]=-3;
实数的定理：
任意实数都存在，都存在唯一的整数m，使得m<=x,且m<m+1;
对任意实数a>0,b>0,可以取适当的自然数
使得n*a > b;
任意两个实数之间都存在有有理数（有理数的稠密性）
绝对值的运算
a:|a|
当a>=0,|a|=a;
当a<=0,|a|=-a;
反应了a到0的距离
;
|a|=0——>a=0;
|a+b|<=|a|+|b|;
|a*b| = |a| * |b|;
复合函数
设有函数y=f(u) ,且u∈D（f)；
u=b（x),且u∈R（b）。
复合函数y=f(b(x))的成立条件为
D（f) ∩ R(b) != 空集
即存在u使得（y=f(u)成立∩ u=b（x)）为真（里面函数为真，外面函数也为真）
不如则会出现：
证明复合函数：
如果
y=f(u) ,且u∈D（f)；
u=b（x),且u∈R（b）；
即y=f(b(x)定义域为空集则不能复合
例：
反函数
反函数的定义域就是原函数值域
符号函数
函数的运算
标签：确界,函数,最大数,实数,上界,X0 From： https://www.cnblogs.com/zaiyewujiang/p/17130460.html