1 多维随机变量的概念
1.1 二维随机变量及其分布函数
在实际问题中，通常需要多个随机变量才能较好地描述某一随机现象；例如，打靶时，弹着点是由两个随机变量所构成的（横、纵坐标）；飞机重心在空中的位置是由三个随机变量（三位坐标）来确定的；学生的考试成绩是由多个随机变量（每门课程的成绩）组成的。
为了研究这些随机现象的规律性，引入了多为随机变量的概念。
定义1：由 n n n个随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,\ X_2,\ ...,\ X_n X1, X2, ..., Xn构成的整体 X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) X = (X_1,\ X_2,\ ...,\ X_n) X=(X1, X2, ..., Xn)，称为 n n n维随机变量； X k ( k = 1 , 2 , . . . , n ) X_k\ (k =1,2,...,n ) Xk (k=1,2,...,n)称为 X X X的第 k k k个分量</u>。
特别地，当 n = 1 n=1 n=1时， X X X称为一维随机变量；当 n = 2 n=2 n=2时， X X X称为二维随机变量。
从几何角度看，一维随机变量是直线上的随机点，二维随机变量是平面上的随机点。
**定义2：**设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维随机变量，对任意的实数 x , y x,y x,y，二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } , − ∞ < x , y < + ∞ F(x,y) = P\{X \le x,\ Y \le y\},\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty F(x,y)=P{X≤x, Y≤y}, −∞<x,y<+∞；称为 X , Y X,Y X,Y的联合分布函数或者二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数。
X X X与 Y Y Y各自的分布函数分别称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X与关于 Y Y Y的边缘分布函数，分别记作 F X ( x ) F_X(x) FX(x)与 F Y ( y ) F_Y(y) FY(y)；则：
F X ( x ) = P { X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < + ∞ } = F ( x , + ∞ ) = lim y → + ∞ F ( x , y ) F_X(x) = P\{X \le x\} = P\{X \le x, Y \lt +\infty\} = F(x, +\infty) = \lim_{y \to +\infty} F(x,y) FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)=limy→+∞F(x,y) ；
F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { X < + ∞ , Y ≤ y } = F ( + ∞ , y ) = lim x → + ∞ F ( x , y ) F_Y(y) = P\{Y \le y\} = P\{X \lt +\infty, Y \le y\} = F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} F(x,y) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y)=limx→+∞F(x,y)。
在几何上，若将二维随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，那么，点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)处的分布函数值
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)就是随机点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)落在以点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。 如图：
随机点落在区域 { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } \{x_1 \lt X \le x_2,\ y_1 \lt Y \le y_2\} {x1<X≤x2, y1<Y≤y2}的概率为： P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 \lt X \le x_2,\ y_1 \lt Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) P{x1<X≤x2, y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)。
二维随机变量的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)具有以下性质：
(1) [单调性]： F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)分别对 x x x和对 y y y是单调不减的，即：
当 x 1 < x 2 x_1 \lt x_2 x1<x2时，有 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) F(x_1, y) \le F(x_2, y) F(x1,y)≤F(x2,y)；
当 y 1 < y 2 y_1 \lt y_2 y1<y2时，有 F ( x , y 1 ) ≤ F ( x , y 2 ) F(x,y_1) \le F(x,y_2) F(x,y1)≤F(x,y2)。
**(2) [有界性]：**对任意的 x x x和 y y y，有： 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 \le F(x,y) \le 1 0≤F(x,y)≤1且
F ( − ∞ , y ) = lim x → − ∞ F ( x , y ) = 0 F(-\infty,y) = \lim_{x \to -\infty} F(x,y) = 0 F(−∞,y)=limx→−∞F(x,y)=0
F ( x , − ∞ ) = lim y → − ∞ F ( x , y ) = 0 F(x, -\infty) = \lim_{y \to -\infty} F(x,y) = 0 F(x,−∞)=limy→−∞F(x,y)=0
F ( − ∞ , − ∞ ) = lim x , y → − ∞ F ( x , y ) = 0 F(-\infty, -\infty) = \lim_{x,y \to -\infty} F(x,y) = 0 F(−∞,−∞)=limx,y→−∞F(x,y)=0
F ( + ∞ , + ∞ ) = lim x , y → + ∞ F ( x , y ) = 1 F(+\infty,+\infty) = \lim_{x,y \to +\infty} F(x,y) = 1 F(+∞,+∞)=limx,y→+∞F(x,y)=1
(3) [右连续性]： 对每个变量都是右连续的，即：
F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) F(x+0,y) = F(x,y) F(x+0,y)=F(x,y)
F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) F(x,y+0) = F(x,y) F(x,y+0)=F(x,y)
(4) [非负性]： 对任意的 x 1 < x 2 , y 1 < y 2 x_1 \lt x_2, y_1 \lt y_2 x1<x2,y1<y2有：
P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 P\{x_1 \lt X \le x_2,\ y_1 \lt Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \ge 0 P{x1<X≤x2, y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0
具有上述四条性质的二元函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布函数；反之，任意一个二维随机变量的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)必定具备上述性质。
注意：性质4是二维随机变量特有的，一维随机变量没有。
例1：判断二元函数
G
(
x
,
y
)
=
{
0
,
x
+
y
<
0
1
,
x
+
y
≥
0
G(x,y) = \begin{cases} 0,\ \ & x+y \lt 0 \\ 1,\ \ & x+y \ge 0 \end{cases}
G(x,y)={0, 1, x+y<0x+y≥0
是否是某个二维随机变量的分布函数。
解：性质1：单调性： G ′ ( x , y ) = 0 G'(x,y) = 0 G′(x,y)=0；证明其单调不减。
性质2：有界性： G ( x , y ) G(x,y) G(x,y)的取值只有0和1，满足 0 ≤ G ( x , y ) ≤ 1 0\le G(x,y) \le 1 0≤G(x,y)≤1；因此有界。
性质3：满足有连续性 # 应该是不连续才对啊，书本上应该是错了。
性质4：非负性：取 a = c = − 1 , b = d = 1 a=c=-1,\ \ b=d=1 a=c=−1, b=d=1，则 P { a < X ≤ b , c < y ≤ d } = F ( b , d ) − F ( b , c ) − F ( a , d ) − F ( a , c ) = 1 − 1 − 1 + 0 = − 1 P\{a \lt X \le b,\ c \lt y \le d\} = F(b,d) - F(b,c) - F(a,d) - F(a,c) = 1 - 1 - 1 + 0 = -1 P{a<X≤b, c<y≤d}=F(b,d)−F(b,c)−F(a,d)−F(a,c)=1−1−1+0=−1；因此不满足非负性。
综上，它不是某个二维随机变量的分布函数。
1.2 二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律
**定义3：**若随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的取值只是有限对或者可列的无限多对，则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的所有可能取的值为 ( x i , y j ) , i , j = 1 , 2 , . . . (x_i, y_j),\ \ i,j = 1,2,... (xi,yj), i,j=1,2,...；其相应的概率为： P { X = x i , Y = y j } = p i j P\{X=x_i,\ Y=y_j\} = p_{ij} P{X=xi, Y=yj}=pij；则称 p i j p_{ij} pij为二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律或 X X X与 Y Y Y的联合分布律。
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律也可以用表格形式表达：
| X | Y | Y | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|---|---|
| X | y 1 y_1 y1 | y 2 y_2 y2 | … | y i y_i yi | … |
| x 1 x_1 x1 | p 11 p_{11} p11 | p 12 p_{12} p12 | … | p 1 j p_{1j} p1j | … |
| x 2 x_2 x2 | p 21 p_{21} p21 | p 22 p_{22} p22 | … | p 2 j p_{2j} p2j | … |
| … | … | … | … | … | … |
| x i x_i xi | p i 1 p_{i1} pi1 | p i 2 p_{i2} pi2 | … | p i j p_{ij} pij | … |
| … | … | … | … | … | … |
显然，二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律具有如下两条基本性质：
(1) 非负性： p i j ≥ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij} \ge 0,\ \ i,j = 1,2,... pij≥0, i,j=1,2,... ；
(2) 规范性： ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1 ∑i=1∞∑j=1∞pij=1 。
例2：设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律为：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 3 \frac{1}{3} 31 | a 6 \frac{a}{6} 6a | 1 4 \frac{1}{4} 41 |
| 2 | 0 | 1 4 \frac{1}{4} 41 | a 2 a^2 a2 |
求 a a a的值。
解：由分布律的性质知： 1 3 + a 6 + 1 4 + 0 + 1 4 + a 2 = 1 \frac{1}{3} + \frac{a}{6} + \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} + a^2 = 1 31+6a+41+0+41+a2=1
即： 6 a 2 + a − 1 = ( 2 a + 1 ) ( 3 a − 1 ) = 0 ∴ a = − 1 2 , a = 1 3 6a^2 + a -1 = (2a + 1)(3a - 1) = 0\ \ \ \ \ \ \therefore a = -\frac{1}{2},\ \ \ a = \frac{1}{3} 6a2+a−1=(2a+1)(3a−1)=0 ∴a=−21, a=31
由于分布律的非负性得： a = 1 3 a = \frac{1}{3} a=31
例3：设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)得分布律为：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0.1 | 0.1 | 0.3 |
| 1 | 0.25 | 0 | 0.25 |
求：（1） P { X = 0 } P\{X = 0\} P{X=0}； （2） P { Y ≤ 2 } P\{Y \le 2\} P{Y≤2}； （3） P { X < 1 , Y ≤ 2 } P\{X \lt 1,\ Y \le 2\} P{X<1, Y≤2}； （4） P { X + Y = 2 } P\{X+Y = 2\} P{X+Y=2}；
解：（1） { X = 0 } = { X = 0 , Y = 1 } ∪ { X = 0 , Y = 3 } ∪ { X = 0 , Y = 3 } \{X = 0\} = \{X=0,Y=1\} \cup \{X=0,Y=3\} \cup \{X=0,Y=3\} {X=0}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=3}∪{X=0,Y=3}，且他们之间互不相容，所以： P { X = 0 } = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5 P\{X=0\} = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5 P{X=0}=0.1+0.1+0.3=0.5
（2） { Y ≤ 2 } = { Y = 1 } + { Y = 2 } = { X = 0 , Y = 1 } ∪ { X = 1 , Y = 1 } ∪ { X = 0 , Y = 2 } ∪ { X = 1 , Y = 2 } \{Y \le 2\} = \{Y = 1\} + \{Y = 2\} = \{X=0,Y=1\} \cup \{X=1,Y=1\} \cup \{X=0,Y=2\} \cup \{X=1,Y=2\} {Y≤2}={Y=1}+{Y=2}={X=0,Y=1}∪{X=1,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=1,Y=2} ，且他们之间互不相容，所以： P { Y ≤ 2 } = 0.1 + 0.25 + 0.1 + 0 = 0.45 P\{Y \le 2\} = 0.1 + 0.25 + 0.1 + 0 = 0.45 P{Y≤2}=0.1+0.25+0.1+0=0.45
（3） { X < 1 , Y ≤ 2 } = { X = 0 , Y = 1 } ∪ { X = 0 , Y = 2 } \{X \lt 1, Y\le 2\} = \{X=0, Y=1\} \cup \{X=0, Y=2\} {X<1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2} ，且他们之间互不相容，所以： { X < 1 , Y ≤ 2 } = 0.1 + 0.1 = 0.2 \{X \lt 1, Y\le 2\} = 0.1 + 0.1 = 0.2 {X<1,Y≤2}=0.1+0.1=0.2
（4） P { X + Y = 2 } = P { X = 0 , Y = 2 } ∪ { X = 1 , Y = 1 } P\{X+Y = 2\} = P\{X=0,Y=2\} \cup \{X=1,Y=1\} P{X+Y=2}=P{X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1} ，且他们之间互不相容，所以： P { X + Y = 2 } = 0.1 + 0.25 = 0.35 P\{X+Y = 2\} = 0.1 + 0.25 = 0.35 P{X+Y=2}=0.1+0.25=0.35
例4：现有3个整数 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3， X X X表示从这3个数中随机抽取1个整数， Y Y Y表示从 1 1 1到 X X X中随机抽取1个整数，试求 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律。
解： X X X与 Y Y Y可能的取值均为 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3，利用概率乘法公式，可得 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)取各对数值的概率分别是：
P { X = 1 , Y = 1 } = P { X = 1 } ⋅ P { Y = 1 } = 1 3 ⋅ 1 = 1 3 P\{X=1,Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} P{X=1,Y=1}=P{X=1}⋅P{Y=1}=31⋅1=31
P { X = 2 , Y = 1 } = P { X = 2 } ⋅ P { Y = 1 } = 1 3 ⋅ 1 2 = 1 6 P\{X=2,Y=1\} = P\{X=2\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} P{X=2,Y=1}=P{X=2}⋅P{Y=1}=31⋅21=61
P { X = 2 , Y = 2 } = P { X = 2 } ⋅ P { Y = 2 } = 1 3 ⋅ 1 2 = 1 6 P\{X=2,Y=2\} = P\{X=2\} \cdot P\{Y=2\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} P{X=2,Y=2}=P{X=2}⋅P{Y=2}=31⋅21=61
P { X = 3 , Y = 1 } = P { X = 3 } ⋅ P { Y = 1 } = 1 3 ⋅ 1 3 = 1 9 P\{X=3,Y=1\} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} P{X=3,Y=1}=P{X=3}⋅P{Y=1}=31⋅31=91
P { X = 3 , Y = 2 } = P { X = 3 } ⋅ P { Y = 2 } = 1 3 ⋅ 1 3 = 1 9 P\{X=3,Y=2\} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=2\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} P{X=3,Y=2}=P{X=3}⋅P{Y=2}=31⋅31=91
P { X = 3 , Y = 3 } = P { X = 3 } ⋅ P { Y = 3 } = 1 3 ⋅ 1 3 = 1 9 P\{X=3,Y=3\} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=3\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} P{X=3,Y=3}=P{X=3}⋅P{Y=3}=31⋅31=91
另外， { X = 1 , Y = 2 } , { X = 1 , Y = 3 } , { X = 2 , Y = 3 } \{X=1,Y=2\},\ \{X=1,Y=3\},\ \{X=2,Y=3\} {X=1,Y=2}, {X=1,Y=3}, {X=2,Y=3}为不可能事件，概率均为0，从而 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律为：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 3 \frac{1}{3} 31 | 0 | 0 |
| 2 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 0 |
| 3 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 9 \frac{1}{9} 91 |
定义4：对于二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)，其分量 X X X与 Y Y Y各自的分布律分别称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X与关于 Y Y Y的边缘分布律，记作：
p i ⋅ , i = 1 , 2 , . . . p_{i\cdot},\ i=1,2,... pi⋅, i=1,2,...与 p ⋅ j , j = 1 , 2 , . . . p_{\cdot j},\ j=1,2,... p⋅j, j=1,2,... 。
已知二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律为： p i j = P { X = x i , Y = y j } , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij} = P\{X=x_i,Y = y_j\},\ \ i,j = 1,2,... pij=P{X=xi,Y=yj}, i,j=1,2,... ，则 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X的边缘分布律为：
p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ P { X = x i , Y = Y j } = ∑ j = 1 ∞ p i j , i = 1 , 2 , . . . p_{i\cdot} = P\{X=x_i\} = \sum_{j=1}^{\infty} P\{X=x_i,Y=Y_j\} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} ,\ \ i=1,2,... pi⋅=P{X=xi}=∑j=1∞P{X=xi,Y=Yj}=∑j=1∞pij, i=1,2,...；
同理， ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 Y Y Y的边缘分布律为：
p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i = 1 ∞ P { X = x i , Y = Y j } = ∑ i = 1 ∞ p i j , j = 1 , 2 , . . . p_{\cdot j} = P\{Y=y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} P\{X=x_i,Y=Y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} ,\ \ j=1,2,... p⋅j=P{Y=yj}=∑i=1∞P{X=xi,Y=Yj}=∑i=1∞pij, j=1,2,...；
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的边缘分布律明显地具有以下性质：
p i ⋅ ≥ 0 , p ⋅ j ≥ 0 ; i , j = 1 , 2 , . . . p_{i\cdot} \ge 0,\ \ p_{\cdot j} \ge 0 ;\ \ \ \ i,j=1,2,... pi⋅≥0, p⋅j≥0; i,j=1,2,... ； # 概率值肯定是正数，其实还得 ≤ 1 \le 1 ≤1
∑ i = 1 ∞ p i ⋅ = ∑ j = 1 ∞ p ⋅ j = 1 \sum_{i=1}^{\infty} p_{i\cdot} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{\cdot j} = 1 ∑i=1∞pi⋅=∑j=1∞p⋅j=1。 # 实际上就是整个分布律表相加，这就包含了全部取值可能，结果肯定是1
例5：现有3个整数 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3， X X X表示从这3个数中随机抽取1个整数， Y Y Y表示从 1 1 1到 X X X中随机抽取1个整数。（同例4）求 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的边缘分布律。
解：首先，利用例4解得的 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 3 \frac{1}{3} 31 | 0 | 0 |
| 2 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 0 |
| 3 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 9 \frac{1}{9} 91 |
然后，分别计算关于 X X X和 Y Y Y的边缘分布律；
关于 X X X的边缘分布律：
P { X = 1 } = P { X = 1 , Y = 1 } + P { X = 1 , Y = 2 } + P { X = 1 , Y = 3 } = p 1 ⋅ = 1 3 + 0 + 0 = 1 3 P\{X=1\} = P\{X=1,Y=1\} + P\{X=1,Y=2\} + P\{X=1,Y=3\} = p_{1\cdot} = \frac{1}{3} + 0 + 0 = \frac{1}{3} P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=p1⋅=31+0+0=31
P { X = 2 } = P { X = 2 , Y = 1 } + P { X = 2 , Y = 2 } + P { X = 2 , Y = 3 } = p 2 ⋅ = 1 6 + 1 6 + 0 = 1 3 P\{X=2\} = P\{X=2,Y=1\} + P\{X=2,Y=2\} + P\{X=2,Y=3\} = p_{2\cdot} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{3} P{X=2}=P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}+P{X=2,Y=3}=p2⋅=61+61+0=31
P { X = 3 } = P { X = 3 , Y = 1 } + P { X = 3 , Y = 2 } + P { X = 3 , Y = 3 } = p 3 ⋅ = 1 9 + 1 9 + 1 9 = 1 3 P\{X=3\} = P\{X=3,Y=1\} + P\{X=3,Y=2\} + P\{X=3,Y=3\} = p_{3\cdot} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} P{X=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}=p3⋅=91+91+91=31
关于 Y Y Y的边缘分布律：
P { Y = 1 } = P { X = 1 , Y = 1 } + P { X = 2 , Y = 1 } + P { X = 3 , Y = 1 } = p ⋅ 1 = 1 3 + 1 6 + 1 9 = 11 18 P\{Y=1\} = P\{X=1,Y=1\} + P\{X=2,Y=1\} + P\{X=3,Y=1\} = p_{\cdot 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{11}{18} P{Y=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}+P{X=3,Y=1}=p⋅1=31+61+91=1811
P { Y = 2 } = P { X = 1 , Y = 2 } + P { X = 2 , Y = 2 } + P { X = 3 , Y = 2 } = p ⋅ 2 = 0 + 1 6 + 1 9 = 5 18 P\{Y=2\} = P\{X=1,Y=2\} + P\{X=2,Y=2\} + P\{X=3,Y=2\} = p_{\cdot 2} = 0 + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5}{18} P{Y=2}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=2}=p⋅2=0+61+91=185
P { Y = 3 } = P { X = 1 , Y = 3 } + P { X = 2 , Y = 3 } + P { X = 3 , Y = 3 } = p ⋅ 3 = 0 + 0 + 1 9 = 1 9 P\{Y=3\} = P\{X=1,Y=3\} + P\{X=2,Y=3\} + P\{X=3,Y=3\} = p_{\cdot 3} = 0 + 0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} P{Y=3}=P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}+P{X=3,Y=3}=p⋅3=0+0+91=91
可将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律即边缘分布律写在同一张表中：
| X | Y | Y | Y | p i ⋅ p_{i\cdot} pi⋅ |
|---|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 | p i ⋅ p_{i\cdot} pi⋅ |
| 1 | 1 3 \frac{1}{3} 31 | 0 | 0 | 1 3 \frac{1}{3} 31 |
| 2 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 0 | 1 3 \frac{1}{3} 31 |
| 3 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 3 \frac{1}{3} 31 |
| p ⋅ j p_{\cdot j} p⋅j | 11 18 \frac{11}{18} 1811 | 5 18 \frac{5}{18} 185 | 1 9 \frac{1}{9} 91 | 1 |
汇总下表格各区域的含义：
值得注意的是：
对于二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)虽然他们的分布律可以确定他们的边缘分布律，但是一般情况下，边缘分布律是不能确定其分布律的。
例6：盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一个球；连续取两次，记事件 X 、 Y X、Y X、Y分别表示第一、二次是否取到红球，"1"表示取到红球，"0"表示取到白球；分别进行有放回取球和无放回取球，分别求出两种情形下 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律与边缘分布律。
解：（1）有放回地取球情形
记事件 { X = 1 } \{X=1\} {X=1}表示第一次取球取到的是红球， { X = 0 } \{X=0\} {X=0}表示第一次取球取到的是白球，则 X X X的分布律为：
P { X = 1 } = 2 5 , P { X = 0 } = 3 5 P\{X=1\} = \frac{2}{5},\ \ P\{X=0\} = \frac{3}{5} P{X=1}=52, P{X=0}=53；
同理，记事件 { Y = 1 } \{Y=1\} {Y=1}表示第二次取球取到的是红球， { Y = 0 } \{Y=0\} {Y=0}表示第二次取球取到的是白球，则 Y Y Y的分布律为：
P { Y = 1 } = 2 5 , P { Y = 0 } = 3 5 P\{Y=1\} = \frac{2}{5},\ \ P\{Y=0\} = \frac{3}{5} P{Y=1}=52, P{Y=0}=53；
因执行的是有放回地取球，因此随机事件 X X X与 Y Y Y相互独立，所以：
P { X = 0 , Y = 0 } = P { X = 0 } ⋅ P { Y = 0 } = 3 5 ⋅ 3 5 = 9 25 P\{X=0,Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} P{X=0,Y=0}=P{X=0}⋅P{Y=0}=53⋅53=259
P { X = 0 , Y = 1 } = P { X = 0 } ⋅ P { Y = 1 } = 3 5 ⋅ 2 5 = 6 25 P\{X=0,Y=1\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25} P{X=0,Y=1}=P{X=0}⋅P{Y=1}=53⋅52=256
P { X = 1 , Y = 0 } = P { X = 1 } ⋅ P { Y = 0 } = 2 5 ⋅ 3 5 = 6 25 P\{X=1,Y=0\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25} P{X=1,Y=0}=P{X=1}⋅P{Y=0}=52⋅53=256
P { X = 1 , Y = 1 } = P { X = 1 } ⋅ P { Y = 1 } = 2 5 ⋅ 2 5 = 4 25 P\{X=1,Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} P{X=1,Y=1}=P{X=1}⋅P{Y=1}=52⋅52=254
综上， ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律及边缘分布律为：
| X | Y | Y | p i ⋅ p_{i\cdot} pi⋅ |
|---|---|---|---|
| X | 0 | 1 | p i ⋅ p_{i\cdot} pi⋅ |
| 0 | 9 25 \frac{9}{25} 259 | 6 25 \frac{6}{25} 256 | 3 5 \frac{3}{5} 53 |
| 1 | 6 25 \frac{6}{25} 256 | 4 25 \frac{4}{25} 254 | 2 5 \frac{2}{5} 52 |
| p ⋅ j p_{\cdot j} p⋅j | 3 5 \frac{3}{5} 53 | 2 5 \frac{2}{5} 52 | 1 |
（2）不放回地取球情形
记事件 { X = 1 } \{X=1\} {X=1}表示第一次取球取到的是红球， { X = 0 } \{X=0\} {X=0}表示第一次取球取到的是白球，则 X X X的分布律为：
P { X = 1 } = 2 5 , P { X = 0 } = 3 5 P\{X=1\} = \frac{2}{5},\ \ P\{X=0\} = \frac{3}{5} P{X=1}=52, P{X=0}=53；
同理，记事件 { Y = 1 } \{Y=1\} {Y=1}表示第二次取球取到的是红球， { Y = 0 } \{Y=0\} {Y=0}表示第二次取球取到的是白球，但 Y Y Y的分布律受 X X X取值的影响：
当 X = 1 X=1 X=1时： P { Y = 1 } = 1 4 , P { Y = 0 } = 3 4 P\{Y=1\} = \frac{1}{4},\ \ P\{Y=0\} = \frac{3}{4} P{Y=1}=41, P{Y=0}=43；
当 X = 0 X=0 X=0时： P { Y = 1 } = 2 4 , P { Y = 0 } = 2 4 P\{Y=1\} = \frac{2}{4},\ \ P\{Y=0\} = \frac{2}{4} P{Y=1}=42, P{Y=0}=42；
因执行的是不放回地取球，因此随机事件 X X X与 Y Y Y并不是相互独立，所以：
P { X = 0 , Y = 0 } = P { X = 0 } ⋅ P { Y = 0 } = 3 5 ⋅ 2 4 = 3 10 P\{X=0,Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} P{X=0,Y=0}=P{X=0}⋅P{Y=0}=53⋅42=103
P { X = 0 , Y = 1 } = P { X = 0 } ⋅ P { Y = 1 } = 3 5 ⋅ 2 4 = 3 10 P\{X=0,Y=1\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} P{X=0,Y=1}=P{X=0}⋅P{Y=1}=53⋅42=103
P { X = 1 , Y = 0 } = P { X = 1 } ⋅ P { Y = 0 } = 2 5 ⋅ 3 4 = 3 10 P\{X=1,Y=0\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10} P{X=1,Y=0}=P{X=1}⋅P{Y=0}=52⋅43=103
P { X = 1 , Y = 1 } = P { X = 1 } ⋅ P { Y = 1 } = 2 5 ⋅ 1 4 = 1 10 P\{X=1,Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10} P{X=1,Y=1}=P{X=1}⋅P{Y=1}=52⋅41=101
综上， ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律及边缘分布律为：
| X | Y | Y | p i ⋅ p_{i\cdot} pi⋅ |
|---|---|---|---|
| X | 0 | 1 | p i ⋅ p_{i\cdot} pi⋅ |
| 0 | 3 10 \frac{3}{10} 103 | 3 10 \frac{3}{10} 103 | 3 5 \frac{3}{5} 53 |
| 1 | 3 10 \frac{3}{10} 103 | 1 10 \frac{1}{10} 101 | 2 5 \frac{2}{5} 52 |
| p ⋅ j p_{\cdot j} p⋅j | 3 5 \frac{3}{5} 53 | 2 5 \frac{2}{5} 52 | 1 |
由此可见，对于有放回和不放回取样 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的边缘分布律完全相同，但是 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律却不相同，这表明 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律不仅反映了两个分量的概率分布，还反映了 X X X与 Y Y Y之间的关系；因此，在研究二维随机变量时，不仅要考察两个分量各自的概率性质，还要考虑他们之间的关系，即，将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为一个整体来研究。
1.3 二维连续型随机变量的概率密度和连续概率密度
定义5： 设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)，若存在非负可积的二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，使得对于任意的 x , y x,y x,y都有：
F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y}f(u,v) dudv F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv ，
则称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度函数或者简称为：概率密度。
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)满足以下性质：
①非负性： f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \ge 0 f(x,y)≥0
②规范性： ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) dxdy = 1 ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1
③若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处连续，则有：
∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial{x} \partial{y}} = f(x,y) ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)
④设 D D D是 X O Y XOY XOY平面上的一个区域，则二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在 D D D内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y) \in D\} = \iint_{D} f(x,y) dxdy P{(X,Y)∈D}=∬Df(x,y)dxdy
例7：设二维随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的概率密度为：
f
(
x
,
y
)
=
{
12
e
−
(
3
x
+
4
y
)
,
x
>
0
,
y
>
0
0
,
其他
f(x,y) = \begin{cases} 12e^{-(3x+4y)},\ \ &x\gt 0,y\gt 0 \\ 0,\ &其他 \end{cases}
f(x,y)={12e−(3x+4y), 0, x>0,y>0其他
求
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的分布函数
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)。
解：当 x ≤ 0 x \le 0 x≤0或 y ≤ 0 y \le 0 y≤0时有： F ( x , y ) = 0 F(x,y) = 0 F(x,y)=0；
当
x
>
0
,
y
>
0
x \gt 0, y \gt 0
x>0,y>0时有：
F
(
x
,
y
)
=
12
∫
0
x
∫
0
y
e
−
(
3
u
+
4
v
)
d
u
d
v
=
12
∫
0
x
∫
0
y
e
−
3
u
e
−
4
v
d
u
d
v
=
12
∫
0
x
e
−
3
u
d
u
⋅
∫
0
y
e
−
4
v
d
v
=
12
⋅
(
−
1
3
e
−
3
u
)
∣
0
x
⋅
(
−
1
4
e
−
4
v
)
∣
0
y
=
(
e
−
3
x
−
1
)
(
e
−
4
y
−
1
)
\begin{aligned} F(x,y) &= 12\int_{0}^{x} \int_{0}^{y} e^{-(3u+4v)} dudv = 12\int_{0}^{x} \int_{0}^{y} e^{-3u} e^{-4v} dudv \\ &= 12 \int_{0}^{x} e^{-3u} du \cdot \int_{0}^{y} e^{-4v} dv \\ &= 12 \cdot (-\frac{1}{3}e^{-3u}) |_{0}^{x} \ \cdot \ (-\frac{1}{4} e^{-4v})|_{0}^{y} \\ &= (e^{-3x} - 1)(e^{-4y} - 1) \end{aligned}
F(x,y)=12∫0x∫0ye−(3u+4v)dudv=12∫0x∫0ye−3ue−4vdudv=12∫0xe−3udu⋅∫0ye−4vdv=12⋅(−31e−3u)∣0x ⋅ (−41e−4v)∣0y=(e−3x−1)(e−4y−1)
所以，
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的分布函数为：
F
(
x
,
y
)
=
{
(
e
−
3
x
−
1
)
(
e
−
4
y
−
1
)
,
x
>
0
,
y
>
0
0
,
其他
F(x,y) = \begin{cases} (e^{-3x} - 1)(e^{-4y} - 1),\ \ \ \ & x \gt 0, y \gt 0 \\ 0,\ \ &其他 \end{cases}
F(x,y)={(e−3x−1)(e−4y−1), 0, x>0,y>0其他
例8：设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数为： F ( x , y ) = a ( b + arctan x ) ( c + arctan y ) , − ∞ < x , y < + ∞ F(x,y) = a(b + \arctan{x})(c + \arctan{y}),\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty F(x,y)=a(b+arctanx)(c+arctany), −∞<x,y<+∞ ；
求（1）常数 a , b , c a,b,c a,b,c； （2） ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度。
解：（1）由分布函数的性质可知：
F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 = a ( b + π 2 ) ( c + π 2 ) F(+\infty,\ +\infty) = 1 = a(b + \frac{\pi}{2})(c+\frac{\pi}{2}) F(+∞, +∞)=1=a(b+2π)(c+2π)
F ( x , − ∞ ) = 0 = a ( b + arctan x ) ( c − π 2 ) F(x,\ -\infty) = 0 = a(b + \arctan{x})(c - \frac{\pi}{2}) F(x, −∞)=0=a(b+arctanx)(c−2π)
F ( − ∞ , y ) = 0 = a ( b − π 2 ) ( c + arctan y ) F(-\infty,\ y) = 0 = a(b - \frac{\pi}{2})(c + \arctan{y}) F(−∞, y)=0=a(b−2π)(c+arctany)
得： a = 1 π 2 , b = π 2 , c = π 2 a = \frac{1}{\pi^2},\ \ b = \frac{\pi}{2},\ \ c = \frac{\pi}{2} a=π21, b=2π, c=2π
（2）由以上知， ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数为： F ( x , y ) = 1 π 2 ( π 2 + arctan x ) ( π 2 + arctan y ) , − ∞ < x , y < + ∞ F(x,y) = \frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan{x})(\frac{\pi}{2} + \arctan{y}),\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty F(x,y)=π21(2π+arctanx)(2π+arctany), −∞<x,y<+∞ ；
所以其概率密度为： F ( x , y ) = 1 π 2 ⋅ 1 1 + x 2 ⋅ 1 1 + y 2 = 1 π 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) , − ∞ < x , y < + ∞ F(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+y^2} = \frac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)},\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty F(x,y)=π21⋅1+x21⋅1+y21=π2(1+x2)(1+y2)1, −∞<x,y<+∞
定义6：设
D
D
D是平面上的一个区域，其面积
S
>
0
S \gt 0
S>0，若二维连续型随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的概率密度为：
f
(
x
,
y
)
=
{
1
S
,
(
x
,
y
)
∈
D
0
,
其他
f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S},\ \ &(x,y)\in D \\ 0,\ &其他 \end{cases}
f(x,y)={S1, 0, (x,y)∈D其他
则称
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)在区域
D
D
D上服从均匀分布，记作
(
X
,
Y
)
∼
U
(
D
)
(X,Y) \sim U(D)
(X,Y)∼U(D)。
若 ( X , Y ) ∼ U ( D ) , D 1 ⊂ D (X,Y) \sim U(D),\ \ D_1 \subset D (X,Y)∼U(D), D1⊂D， D 1 D_1 D1的面积为 S 1 S_1 S1，则 P { ( x , y ) ∈ D 1 } = S 1 S P\{(x,y) \in D_1\} = \frac{S_1}{S} P{(x,y)∈D1}=SS1；特别地，有以下两种情形：
①
D
D
D是矩形区域，
a
<
x
≤
b
,
c
<
y
≤
d
,
(
X
,
Y
)
∼
U
(
D
)
a \lt x \le b,\ c \lt y \le d,\ (X,Y) \sim U(D)
a<x≤b, c<y≤d, (X,Y)∼U(D)；则
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的概率密度为：
f
(
x
,
y
)
=
{
1
(
b
−
a
)
(
d
−
c
)
,
a
<
x
≤
b
,
c
<
y
≤
d
0
,
其他
f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{(b-a)(d-c)},\ \ \ \ &a \lt x \le b,\ c \lt y \le d \\ 0,\ &其他 \end{cases}
f(x,y)={(b−a)(d−c)1, 0, a<x≤b, c<y≤d其他
②
D
D
D是圆形区域，
x
2
+
y
2
≤
R
2
,
(
X
,
Y
)
∼
U
(
D
)
x^2 + y^2 \le R^2,\ (X,Y) \sim U(D)
x2+y2≤R2, (X,Y)∼U(D)；则
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的概率密度为：
f
(
x
,
y
)
=
{
1
π
R
2
,
x
2
+
y
2
≤
R
2
0
,
其他
f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi R^2},\ \ \ \ & x^2 + y^2 \le R^2 \\ 0,\ &其他 \end{cases}
f(x,y)={πR21, 0, x2+y2≤R2其他
★ ★ ★ ★ ★ \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar ★★★★★ 一句话就是：落在区域内，其概率密度就是 1 S \frac{1}{S} S1；各种规则的区域有现成的面积公式，不规则的区域就是要微积分的方法计算面积。
例9：设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在区域 D = { ( x , y ) ∣ y ≤ x , 0 ≤ x ≤ 1 , y ≥ 0 } D = \{(x,y) | y \le x,\ 0 \le x \le 1,\ y \ge 0\} D={(x,y)∣y≤x, 0≤x≤1, y≥0}上服从均匀分布，求 P { X + Y ≤ 1 } P\{X+Y \le 1\} P{X+Y≤1}。
解：涉及到二重积分的问题建议首先画图：
区域D的面积：
S
=
1
2
S = \frac{1}{2}
S=21；由题目知，
(
X
,
Y
)
∼
U
(
D
)
(X,Y) \sim U(D)
(X,Y)∼U(D)，则其概率密度为：
f
(
x
,
y
)
=
{
2
,
(
x
,
y
)
∈
D
0
,
其他
f(x,y) = \begin{cases} 2,\ \ &(x,y)\in D \\ 0,\ &其他 \end{cases}
f(x,y)={2, 0, (x,y)∈D其他
需要求的
P
{
X
+
Y
≤
1
}
P\{X+Y \le 1\}
P{X+Y≤1}代表的是
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)落在
x
+
y
≤
1
x+y \le 1
x+y≤1区域
D
1
D_1
D1内的概率，在图中描述为：(忽略途中坐标比例问题_)
则： P { X + Y ≤ 1 } = ∬ x + 1 ≤ 1 f ( x , y ) d x d y = ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y = ∬ D 1 2 d x d y P\{X+Y \le 1\} = \iint_{x+1 \le 1}f(x,y)dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) dxdy = \iint_{D_1} 2 dxdy P{X+Y≤1}=∬x+1≤1f(x,y)dxdy=∬D1f(x,y)dxdy=∬D12dxdy
当然我们可以利用二重积分的只是解得最终结果，但更方面的是，我们可以直接根据 ∬ D 1 1 d x d y = S D 1 \iint_{D_1} 1dxdy = S_{D_1} ∬D11dxdy=SD1的实际意义得出：
P { X + Y ≤ 1 } = 2 S D 1 = 1 4 P\{X+Y \le 1\} = 2S_{D_1} = \frac{1}{4} P{X+Y≤1}=2SD1=41
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