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随机事件及其运算
随机试验
- 对随机现象所进行的观察、实验或试验等都称为随机试验，记为 E E E
特点
- 在相同条件下可以重复进行
- 试验的结果不止一个且所有可能的结果事先是已知的
- 每次试验之前，无法预料哪个结果会出现
样本空间
- 随机试验中每一个基本的可能结果称为一个样本点，记为 ω \omega ω，而一个随机试验的全体样本点构成的集合称为该随机试验的样本空间，记为 Ω \Omega Ω
随机事件
-
随机试验中可能出现也可能不出现的结果称为一个随机事件，常用英文大写字母 A A A， B B B， ⋯ \cdots ⋯表示
-
每一个样本点的单点集也是一个随机事件，称为基本事件
-
必然事件用 Ω \Omega Ω表示，不可能事件用 ∅ \emptyset ∅表示，必然事件与不可能事件本质上并没有不确定性，但是作为极端情形，还是把它们看作随机事件
事件的关系和运算
事件的包含
- 如果事件 A A A发生必然导致事件 B B B发生，则称事件 B B B包含事件 A A A，或称 A A A是 B B B的子事件，记为 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B或 B ⊇ A B \supseteq A B⊇A
事件的相等
- 如果 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B且 B ⊆ A B \subseteq A B⊆A，则称 A A A与 B B B相等，记为 A = B A = B A=B
事件的和
-
由 A A A与 B B B的所有样本点组成的事件，称为事件 A A A与 B B B的和（或并），记为 A ∪ B A \cup B A∪B或 A + B A + B A+B，即 A ∪ B = { ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 或 ω ∈ B } A \cup B = \set{\omega \in \Omega | \omega \in A 或 \omega \in B} A∪B={ω∈Ω∣ω∈A或ω∈B}
-
A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n} A1∪A2∪⋯∪An记为 ⋃ i = 1 n A i \bigcup\limits_{i = 1}^{n}{A_{i}} i=1⋃nAi，可列多个事件 A 1 A_{1} A1， A 2 A_{2} A2， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An， ⋯ \cdots ⋯的和记为 ⋃ i = 1 ∞ A i \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}{A_{i}} i=1⋃∞Ai
事件的积
- 既属于 A A A又属于 B B B的所有样本点组成的事件，称为事件 A A A与 B B B的积（或交），记为 A ∩ B A \cap B A∩B或 A B AB AB，即 A ∩ B = { ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 且 ω ∈ B } A \cap B = \set{\omega \in \Omega | \omega \in A 且 \omega \in B} A∩B={ω∈Ω∣ω∈A且ω∈B}
事件的互不相容
- A B = ∅ AB = \emptyset AB=∅，则称事件 A A A与 B B B是互不相容事件（或互斥事件）
对立事件
- A ∪ B = Ω A \cup B = \Omega A∪B=Ω且 A B = ∅ AB = \emptyset AB=∅，则称 B B B为 A A A的对立事件（或逆事件、补事件），记为 B = A ˉ B = \bar{A} B=Aˉ
事件的差
- A A A发生而 B B B不发生的事件，称为事件 A A A与 B B B的差，记为 A − B A - B A−B，即 A − B = { ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 且 ω ∉ B } A - B = \set{\omega \in \Omega | \omega \in A 且 \omega \notin B} A−B={ω∈Ω∣ω∈A且ω∈/B}
- A − B = A B ˉ A - B = A \bar{B} A−B=ABˉ
概率及其运算性质
古典概型
- 概率论早期研究的是具有下列特点的一类随机现象
- 试验的可能结果（即样本点）为有限个
- 每个样本点发生的可能性都是一样的
- 一般地，若样本空间 Ω \Omega Ω包含 n n n个样本点，而对任意事件 A A A， A A A包含了 k k k个样本点，则定义比值 k n \frac{k}{n} nk为事件 A A A的概率
示例1
问题
- 从 5 5 5双不同的鞋中任取 4 4 4只，求此 4 4 4只鞋中至少有两只配成一双的概率
解答
- 一种情形为恰有两只鞋成一双，另一种情形为 4 4 4只鞋配成了两双
- P = C 5 1 C 2 2 C 4 2 C 2 1 C 2 1 + C 5 2 C 2 2 C 2 2 C 10 4 = 13 21 P = \frac{C_{5}^{1} C_{2}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{1} C_{2}^{1} + C_{5}^{2} C_{2}^{2} C_{2}^{2}}{C_{10}^{4}} = \frac{13}{21} P=C104C51C22C42C21C21+C52C22C22=2113
示例2
问题
- 袋中有 a a a个黑球， b b b个白球，现在把球随机地一个一个摸出来，求第 k k k次摸出的是黑球的概率（ 1 ≤ k ≤ a + b 1 \leq k \leq a + b 1≤k≤a+b）
解答
-
将 a + b a + b a+b个球视为有区别，把摸出的球依次排列在 a + b a + b a+b个位置上，则样本点总数为 ( a + b ) ! (a + b)! (a+b)!
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第 k k k个位置为黑球有 a a a种放法，而其他 a + b − 1 a + b - 1 a+b−1个位置上相当于 a + b − 1 a + b - 1 a+b−1个球进行全排列，有 ( a + b − 1 ) ! (a + b - 1)! (a+b−1)!种放法
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P = a ( a + b − 1 ) ! ( a + b ) ! = a a + b P = \frac{a (a + b - 1)!}{(a + b)!} = \frac{a}{a + b} P=(a+b)!a(a+b−1)!=a+ba
-
摸出黑球的概率与摸球次序数 k k k无关，同样，在抽签活动中，中签的概率与抽签的先后次序无关
几何概型
- 保留古典概型样本点的等可能性，将样本点的个数推广到无限多个，这类概率问题则一般需要通过几何方法来解决
- 一般地，若随机试验 E E E的样本空间 Ω \Omega Ω为几何空间中的一个可度量的区域，且 Ω \Omega Ω中每个样本点出现的可能性相同，则事件 A ⊆ Ω A \subseteq \Omega A⊆Ω发生的概率为 P ( A ) = A 的度量 B 的度量 P(A) = \frac{A 的度量}{B 的度量} P(A)=B的度量A的度量
示例
问题
- 平面上画有等距离的平行线，平行线的距离均为 a ( a > 0 ) a (a > 0) a(a>0)，若向该平面上投掷一枚长为 l ( l < a ) l (l < a) l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率
解答
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以 x x x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以 φ \varphi φ表示针与直线间的交角
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显然有 Ω = { ( x , φ ) ∣ 0 ≤ x ≤ a 2 , 0 ≤ φ ≤ π } \Omega = \set{(x, \varphi) | 0 \leq x \leq \frac{a}{2} , 0 \leq \varphi \leq \pi} Ω={(x,φ)∣0≤x≤2a,0≤φ≤π}
-
令 A A A表示“针与平行线相交”这一事件，则有 A = { ( x , φ ) ∣ 0 ≤ x ≤ l 2 sin φ } A = \set{(x, \varphi) | 0 \leq x \leq \frac{l}{2} \sin{\varphi}} A={(x,φ)∣0≤x≤2lsinφ}
-
P ( A ) = A 的面积 Ω 的面积 = ∫ 0 π l 2 sin φ d φ a 2 ⋅ π = 2 l π a P(A) = \frac{A 的面积}{\Omega 的面积} = \frac{\int_{0}^{\pi}{\frac{l}{2} \sin{\varphi} d\varphi}}{\frac{a}{2} · \pi} = \frac{2l}{\pi a} P(A)=Ω的面积A的面积=2a⋅π∫0π2lsinφdφ=πa2l
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这个投针问题是法国科学家蒲丰于 1777 1777 1777年提出的有关几何概型的一个著名问题
概率的统计定义
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对于随机试验 E E E，重复进行 n n n次，设事件 A A A发生的次数为 m m m，当 n n n充分大时，若 A A A发生的频率 m n \frac{m}{n} nm能稳定地在一个确定的数值 p p p附近摆动，则定义 A A A的概率 P ( A ) = p P(A) = p P(A)=p
-
概率的统计定义提供了一种通过试验去估计概率的方法，有它实用的一面，但在理论和应用中，又有一定的局限性
- 在理论上，没有理由断定 n + 1 n + 1 n+1次试验计算出的频率会比 n n n次试验计算出的频率更能刻画事件的概率
- 在实际运用中，无法知道 n n n到底取多大为好，并且 n n n较大时，也不一定能保证试验条件完全一样
概率的公理化定义
- 古典概型和几何概型受“等可能性”的限制，因而其适用范围有限，概率的统计定义虽然适用于一般情况，但它存在着缺陷，如其中的“稳定地在某一数值 p p p的附近摆动”等提法，不能作为严格的数学定义
- 在概率论发展的历史上，人们一直寻求严谨的、适合一切随机现象的概率的数学定义，直到 1933 1933 1933年，数学家科尔莫戈罗夫创立了概率论的公理化体系，他从集合论和测度论出发，归纳总结事件及其概率的最基本的性质和关系，用公理的形式给出了概率的数学定义，才使概率论成为理论严谨的数学分支，为近代概率论奠定了坚实的理论基础
定义1
-
若样本空间 Ω \Omega Ω的一些子集所构成的集合 F \mathscr{F} F满足
- Ω ∈ F \Omega \in \mathscr{F} Ω∈F
- 若 A ∈ F A \in \mathscr{F} A∈F，则 A ˉ ∈ F \bar{A} \in \mathscr{F} Aˉ∈F
- 若 A i ∈ F ( i = 1 , 2 , ⋯ ) A_{i} \in \mathscr{F} (i = 1, 2, \cdots) Ai∈F(i=1,2,⋯)，则 ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ F \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}{A_{i}} \in \mathscr{F} i=1⋃∞Ai∈F
-
则称 F \mathscr{F} F为 Ω \Omega Ω的一个事件域， F \mathscr{F} F中的集合称为事件
-
由定义 1 1 1容易得到事件域还具有以下性质
- ∅ ∈ F \emptyset \in \mathscr{F} ∅∈F
- 若 A i ∈ F ( i = 1 , 2 , ⋯ ) A_{i} \in \mathscr{F} (i = 1, 2, \cdots) Ai∈F(i=1,2,⋯)，则 ⋂ i = 1 ∞ A i ∈ F \bigcap\limits_{i = 1}^{\infty}{A_{i}} \in \mathscr{F} i=1⋂∞Ai∈F
- 若 A i ∈ F ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) A_{i} \in \mathscr{F} (i = 1, 2, \cdots, n) Ai∈F(i=1,2,⋯,n)，则 ⋂ i = 1 n A i ∈ F \bigcap\limits_{i = 1}^{n}{A_{i}} \in \mathscr{F} i=1⋂nAi∈F， ⋃ i = 1 n A i ∈ F \bigcup\limits_{i = 1}^{n}{A_{i}} \in \mathscr{F} i=1⋃nAi∈F
- 若 A ∈ F A \in \mathscr{F} A∈F， B ∈ F B \in \mathscr{F} B∈F，则 A − B ∈ F A - B \in \mathscr{F} A−B∈F
-
上述性质表明，事件域 F \mathscr{F} F对集合的所有运算都是封闭的
定义2
- 设
F
\mathscr{F}
F是样本空间
Ω
\Omega
Ω的一个事件域，若对于任一事件
A
∈
F
A \in \mathscr{F}
A∈F，定义在
F
\mathscr{F}
F上的一个实值函数
P
(
A
)
P(A)
P(A)满足
- 非负性： ∀ A ∈ F \forall A \in \mathscr{F} ∀A∈F，有 P ( A ) ≥ 0 P(A) \geq 0 P(A)≥0
- 规范性： P ( Ω ) = 1 P(\Omega) = 1 P(Ω)=1
- 完全可加性：若 A i ∈ F ( i = 1 , 2 , ⋯ ) A_{i} \in \mathscr{F} (i = 1, 2, \cdots) Ai∈F(i=1,2,⋯)，且 A i A j = ∅ ( i ≠ j ) A_{i} A_{j} = \emptyset (i \neq j) AiAj=∅(i=j)，则有 P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P\left(\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}{A_{i}}\right) = \sum\limits_{i = 1}^{\infty}{P(A_{i})} P(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)
- 则称 P ( A ) P(A) P(A)为事件 A A A的概率
- 定义 2 2 2中概率满足的三个基本性质被称为概率公理
- 对于一个样本空间 Ω \Omega Ω，给定了 Ω \Omega Ω上的事件域 F \mathscr{F} F，定义了 F \mathscr{F} F上的概率 P P P，称 ( Ω , F , P ) (\Omega, \mathscr{F}, P) (Ω,F,P)为概率空间
概率的性质
性质1
- P ( ∅ ) = 0 P(\emptyset) = 0 P(∅)=0
证明
- 因为 Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ⋯ ∪ ∅ ∪ ⋯ \Omega = \Omega \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \cdots \cup \emptyset \cup \cdots Ω=Ω∪∅∪∅∪⋯∪∅∪⋯，所以 P ( Ω ) = P ( Ω ) + P ( ∅ ) + P ( ∅ ) + ⋯ + P ( ∅ ) + ⋯ P(\Omega) = P(\Omega) + P(\emptyset) + P(\emptyset) + \cdots + P(\emptyset) + \cdots P(Ω)=P(Ω)+P(∅)+P(∅)+⋯+P(∅)+⋯，于是 P ( ∅ ) = 0 P(\emptyset) = 0 P(∅)=0
性质2（有限可加性）
- 若 A 1 A_{1} A1， A 2 A_{2} A2， ⋯ \cdots ⋯， A n A_{n} An两两互不相容，即 A i A j = ∅ ( i ≠ j ) A_{i} A_{j} = \emptyset (i \neq j) AiAj=∅(i=j)则 P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P\left(\bigcup\limits_{i = 1}^{n}{A_{i}}\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n}{P(A_{i})} P(i=1⋃nAi)=i=1∑nP(Ai)
性质3
- P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ∪ B ‾ ) = 1 − P ( A ˉ B ˉ ) P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(\bar{A} \bar{B}) P(A∪B)=1−P(A∪B)=1−P(AˉBˉ)
性质4
- 设 A A A， B B B为两个事件，则 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A - B) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)
证明
- 因为 A = A Ω = A ( B ∪ B ˉ ) = A B ∪ A B ˉ = A B ∪ ( A − B ) A = A \Omega = A (B \cup \bar{B}) = AB \cup A \bar{B} = AB \cup (A - B) A=AΩ=A(B∪Bˉ)=AB∪ABˉ=AB∪(A−B)，且 A B ∩ ( A − B ) = ∅ AB \cap (A - B) = \emptyset AB∩(A−B)=∅，由性质 2 2 2便有 P ( A ) = P ( A B ) + P ( A − B ) P(A) = P(AB) + P(A - B) P(A)=P(AB)+P(A−B)
性质5（加法公式）
- 设 A A A， B B B为两个事件，则 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
证明
-
A ∪ B = A ∪ ( B − A ) A \cup B = A \cup (B - A) A∪B=A∪(B−A)，显然 A A A与 B − A B - A B−A互不相容，则 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B − A ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B - A) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B−A)=P(A)+P(B)−P(AB)
-
一般地，由数学归纳法得 P ( ⋃ i = 1 n A i ) = S 1 − S 2 + S 3 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 S n P\left(\bigcup\limits_{i = 1}^{n}{A_{i}}\right) = S_{1} - S_{2} + S_{3} + \cdots + (-1)^{n - 1} S_{n} P(i=1⋃nAi)=S1−S2+S3+⋯+(−1)n−1Sn，其中 S 1 = ∑ i = 1 n P ( A i ) S_{1} = \sum\limits_{i = 1}^{n}{P(A_{i})} S1=i=1∑nP(Ai)， S 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n P ( A i A j ) S_{2} = \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n}{P(A_{i} A_{j})} S2=1≤i<j≤n∑P(AiAj)， S 3 = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n P ( A i A j A k ) S_{3} = \sum\limits_{1 \leq i < j < k \leq n}{P(A_{i} A_{j} A_{k})} S3=1≤i<j<k≤n∑P(AiAjAk)， ⋯ \cdots ⋯， S n = P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) S_{n} = P(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}) Sn=P(A1A2⋯An)，且有 P ( ⋃ i = 1 n A i ) ≤ ∑ i = 1 n P ( A i ) P\left(\bigcup\limits_{i = 1}^{n}{A_{i}}\right) \leq \sum\limits_{i = 1}^{n}{P(A_{i})} P(i=1⋃nAi)≤i=1∑nP(Ai)
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