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线性代数的解法

时间:2024-10-29 21:33:28浏览次数:2  
标签:方程组 -- 线性方程组 矩阵 线性代数 2.2 解法 vdots

线性代数

数学的思维方式:

graph TB id1(#观察#客观现象)--提出主要研究的问题\n抓住主要特征-->id2(#抽象#出概念或建立模型) id2-->id3(#探索#应用直觉,类比,归纳,联想,推理) id3-->id4(#猜测#可能有的规律) id4-->id5(#论证#深入分析,应用定义,公理,证明过的定理进行逻辑推理) id5-->id6(#揭示#事物的内在规律)

image-20241029165207604

1、三元一次方程组的解法(加减消元法-->矩阵消元法)

1.1 解三元一次方程组

例1:

image-20241029175757216

由此可得出,该三元一次方程组有唯一解(3,-1,2)

1.2 n元线性方程组:

image-20241029150044063

提取系数,得到n×n矩阵
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{pmatrix}
$$
记为A

加上等于号右边的常数,得到,A的增广矩阵:
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\
\end{pmatrix}
$$

1.3 阶梯形矩阵特点:

  1. 0行在下方
  2. 主元(首非零元素)的列指标随着行指标的增加而严格增大

1.4 矩阵的初等行变换

  • 把一行的倍数加到另一行
  • 两行互换
  • 一行乘一个非零数

1.5 简化的行阶梯型矩阵

  1. 阶梯形矩阵
  2. 主元都是1
  3. 主元所在列的其余元素都是0

1.6 矩阵的初等行变换得到的方程组与原方程组同解。

2、n元线性方程组的解的情况

2.1猜测

观察2.2猜测:

n元线性方程组的解有且只有三种可能,唯一解、无解、无穷多个解。

把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换成阶梯形,相应的阶梯形方程组如果出现"0=d(d为非零数)",那么原方程组无解,否则,原方程组有解

当有解时,若阶梯形矩阵非零行的数目r = n(未知量数目),则原方程组有唯一解,若r < n,则原方程组有无穷多个解

2.2 解的情况及其证明

2.2.1无解

(无解的情况显而易见):

8e66f9b72d89c227c71993ad02325be

2.2.2有解

2.2.2.1 无穷多个解
d76fd807d6b23065c26b3bd80d7b8eb
2.2.2.2 唯一解

image-20241029175757216

2.2.3 证明

image-20241029200440487 image-20241029200519729

3、n元齐次线性方程组

3.1 例题

image-20241029202214293

显然,(0,0,0,...,0)是方程组的一个解,称为零解,其余的解称为非零解

由n元线性方程组的解的情况可知,n元齐次线性方程组有零解,就说明不可能无解,所以必有解。

若存在非零解,则意味着,有无穷多个解(r<n)。

3.2 推论1

标签:方程组,--,线性方程组,矩阵,线性代数,2.2,解法,vdots
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