线性代数--线性方程组

线性方程组有解的判定

$$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2-x_3=-3\\ 2x_1+9x_2+10x_3=11\end{array}系数矩阵：A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 2& 9& 10\end{array}\right)增广矩阵：\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& -1& -3\\ 2& 9& 10& 11\end{array}\right)$$
n是未知量的个数，m是方程的个数

怎么判断秩是否相等步骤：

1. 通过方程，写出增广系数矩阵
2. 只做初等行变换，化为阶梯型
3. 看系数矩阵的秩和增广系数矩阵的秩是否相等==阶梯型中虚线左边非零行的行数和虚线右边的非零行的行数是否相等
   相等并且等于未知量个数时有唯一解
   相等并且小于未知量个数时有无穷多解
   不相等无解
4. 无穷多解再进行这一步，化为行简化阶梯型，不管零行，非零行的首非零元素留在左边，其余变量挪到右边， 得到一般解

齐次线性方程组

等号右边全是0
齐次方程一定有解，至少有零解

解的结构

齐次线性方程组解的结构

Ax=0 无穷多个

• 基础解系 = 极大线性无关组
  
• 求基础解系
  不在左边的全都是自由未知量 n-r(A)个解
  
  
  结论：
  

非齐次线性方程组解的结构

怎么求通解？能用基础解系表示出来的解

1. 求Ax = b 的一个特解
2. 求Ax = 0 基础解系