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线性代数--二次型

时间:2024-10-26 16:59:16浏览次数:2  
标签:二次 -- 可逆 矩阵 正定 线性代数 线性 替换

二次型化为矩阵表达式

二次型:每项的幂都是2
二次型的矩阵一定是对称的
AT=A
矩阵A:二次型的矩阵
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标准型

只有平方项叫做标准型 平方项的系数可以取零

线性替换

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X=CY 线性替换
|c|=0可逆称为非退化替换|c|0不可逆称为非退化替换
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定理:

  1. 二次型经过线性替换之后仍然是新的二次型的矩阵 仍然是对称的
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合同

A,Bn阶方阵,存在可逆矩阵C,使得CTAC=B

  • 性质
  1. 反身性
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  2. 对称性
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  3. 传递性
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  4. 矩阵左乘可逆矩阵或右乘可逆矩阵秩不变
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矩阵的关系

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化二次型为标准型

有三种方法:

  1. 配方法
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    还有一步:
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    只有交叉项的配方:
    有三个变量令:
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    有四个变量令:
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    然后带入原式,再用配方
  2. 初等变换
    (AE)(C)
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  3. 正交替换
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规范型

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  1. 正向个数叫正惯性指数
  2. 负向个数叫负惯性指数
  3. 相减叫符号差

有定性

  • 有定的
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  • 不定的
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有定性的判别

  1. 正定二次型如果经过一次线性替换以后,仍是正定
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顺序主子式

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正定性质

  1. A正定 A逆正定
  2. A正定 A伴随正定
  3. A正定 A的k次方也正定
  4. A正定 B半正定 A+B正定
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  5. A正定 A的主对角元素大于0

标签:二次,--,可逆,矩阵,正定,线性代数,线性,替换
From: https://www.cnblogs.com/tangshidedabenniao/p/18503110

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