第二章 多重线性代数
Note：本文默认了基本的向量空间和矩阵的相关知识。本文中所有的向量空间默认是有限维的，且定义在一个域 \(\mathbb{F}\) 上。本文采用Einstein求和约定。
§1 张量积
[Def 1.1] 对于向量空间 \(V_1,\cdots,V_r\) 和 \(Z\) ，若映射 \(f:V_1\times\cdots\times V_r\to Z\) 对于每一个分量都是线性的，即
\[f(v_1,\cdots,u_i+v_i,\cdots,v_r)=f(v_1,\cdots,u_i,\cdots,v_r)+f(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_r) \]对于任意的 \(1\leqslant i\leqslant r\) ， \(u_i,v_i\in V_i\) 和其余的 \(v_j\in V_j\) 成立，则称 \(f\) 为一个 \(r\) 重线性映射。当取 \(Z=\mathbb{F}\) 时，称 \(f\) 为一个 \(r\) 重线性函数。全体这样的映射构成的集合记作 \(\mathscr{L}(V_1,\cdots,V_r;Z)\) ，它仍是一个向量空间。
希望将多重线性映射转换为线性映射（即一重线性映射）来研究。具体而言，从二重的情况出发，对于双线性映射 \(f:V\times W\to Z\) ，希望基于 \(V,W\) 构造一个向量空间 \(Y\) ，以及一个双线性映射 \(h:V\times W\to Y\) ，使得存在唯一的线性映射 \(g:Y\to Z\) 满足 \(f=g\circ h\) 。这个 \(Y\) 就是 \(V,W\) 的张量积。
为了叙述方便[1]，先定义对偶空间 \(V^*,W^*\) 的张量积。对于 \(v^*\in V^*,w^*\in W^*\) ，定义这两个线性函数的张量积 \(v^*\otimes w^*\) 为 （以下的 \(x\in V,y\in W\)）
\[v^*\otimes w^*(x,y)=v^*(x)\cdot w^*(y)=\left<x,v^*\right>\cdot\left<y,w^*\right> \]可见 \(v^*\otimes w^*\) 是 \(V\times W\) 上的双线性函数。由此：
[Def 1.2] 向量空间 \(V^*,W^*\) 的张量积 \(V^*\otimes W^*\) 是由形如 \(v^*\otimes w^*\) 的元素张成的向量空间。
在 \(V^*,W^*\) 上分别取基 \(\{{a^*}^i\},\{{b^*}^\alpha\}\) ，那么 \(v^*\otimes w^*\) 可以表示为
\[v^*\otimes w^*=\sum_{i,\alpha}{v^*(a_i)w^*(b_\alpha)\cdot {a^*}^i\otimes{b^*}^\alpha } \]其中 \(\{a_i\},\{b_j\}\) 是相应的对偶基。这说明 \({a^*}^i\otimes{b^*}^\alpha\) 构成 \(V^*\otimes W^*\) 的基，继而可以说明所有 \(V,W\) 上的双线性函数都可以表示为其线性组合，因此 \(V^*\otimes W^*=\mathscr{L}(V,W;\mathbb{F})\) 。
同样，可以定义 \(V\otimes W=\mathscr{L}(V^*,W^*,\mathbb{F})\) 。两个空间 \(V\otimes W\) 和 \(V^*\otimes W^*\) 显然是对偶的，配合是
\[\left<x\otimes y,v^*\otimes w^*\right>=\left<x,v^*\right>\cdot\left<y,w^*\right> \]特别的
\[\left<a_i\otimes b_\alpha,{a^*}^j\otimes {b^*}^\beta\right>=\delta_i^j\delta_\alpha^\beta= \left\{ \begin{align*} & 1 \ \ \ \ (i,\alpha)=(j,\beta)\\ & 0 \ \ \ \ (i,\alpha)\neq(j,\beta)\\ \end{align*} \right. \]因此 \(\{a_i\otimes b_\alpha\}\) 和 \(\{{a^*}^i\otimes {b^*}^\alpha\}\) 互为对偶基。
以下验证张量积满足它被希望的性质：
[Theo 1.1] 记 \(h:V\times W\to V\otimes W\) 为 \(h(v,w)=v\otimes w\) ，则任意双线性映射 \(f:V\times W\to Z\) ，存在唯一的线性映射 \(g:V\otimes W\to Z\) 满足 \(f=g\circ h\) 。
Proof：对于基 \(\{a_i\otimes b_\alpha\}\) ，这个 \(g\) 定义为 \(g(a_i\otimes b_\alpha)=f(a_i,b_\alpha)\) ，可以验证 \(f=g\circ h\) 。
推论：\(\mathscr{L}(V,W;Z)\) 同构于 \(\mathscr{L}(V\otimes W;Z)\) 。
自然的，线性函数的张量积运算可以推广到多重线性函数上。对于 \(r\) 重线性函数 \(f\in\mathscr{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{F})\) 和 \(s\) 重线性函数 \(g\in\mathscr{L}(W_1,\cdots,W_s;\mathbb{F})\) ，张量积 \(f\otimes g\) 定义为 \(r+s\) 重线性函数
\[f\otimes g(v_1,\cdots,v_r,w_1,\cdots,w_s)=f(v_1,\cdots,v_r)\cdot g(w_1,\cdots,w_s) \]那么张量积是双线性映射 \(\mathscr{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{F})\times\mathscr{L}(W_1,\cdots,W_s;\mathbb{F})\to\mathscr{L}(V_1,\cdots,V_r,W_1,\cdots,W_s;\mathbb{F})\) 。
[Theo 1.2] 张量积运算是结合的。
由此可以无歧义的使用形如 \(v\otimes w\otimes z\) 这样的记号。同样，定义多个向量空间的张量积为其上的线性函数的张量积所张成的空间。容易证明 \(V_1\otimes\cdots\otimes V_r=\mathscr{L}(V^*_1,\cdots,V^*_r;\mathbb{F})\) 。自然，多元张量积也满足
[Theo 1.3] 记 \(h:V_1\times\cdots\times V_r\to V_1\otimes\cdots\otimes V_r\) 为 \(h(v_1,\cdots,v_r)=v_1\otimes\cdots\otimes v_r\) ，则任意 \(r\) 重线性映射 \(f:V_1\times\cdots\times V_r\to Z\) ，存在唯一的线性映射 \(g: V_1\otimes\cdots\otimes V_r\to Z\) 满足 \(f=g\circ h\) 。
§2 张量
微分几何中常常讨论一个空间和它自己的对偶空间的张量积，其元素称为张量。
[Def 2.1] 向量空间 \(V\) 和其对偶空间 \(V^*\) ，张量积
\[V^r_s=\underset{r个}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}}\otimes\underset{s个}{\underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}} \]的元素称为 \((r,s)\) 型张量，其中 \(r\) 是张量的反变阶数， \(s\) 是其协变阶数。[2]
特别的， \(V^r_0\) 的元素称为 \(r\) 阶反变张量， \(V^0_s\) 的元素称为 \(s\) 阶协变张量；\(V^1_0=V\) 的元素称作反变矢量，\(V^0_1=V^*\) 的元素称为协变矢量；约定 \(V_0^0=\mathbb{F}\) 。[3]
若取出 \(V\) 的基 \(\{e_i,1\leqslant i\leqslant n\}\) 以及 \(V^*\) 上的对偶基，则 \(V^r_s\) 的一个基张量可以表示为
\[e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes {e^*}^{k_1}\otimes\cdots\otimes {e^*}^{k_s} \ \ \ \ \ \ \ \ 1\leqslant i_1,\cdots,i_r,k_1\cdots,k_s\leqslant n \]此时 \(V^r_s\) 中的张量 \(x\) 可以用分量表示为（此处及以后默认采用Einstein求和约定）：
\[x=x^{i_1\cdots i_r}_{k_1\cdots k_s}e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes {e^*}^{k_1}\otimes\cdots\otimes {e^*}^{k_s} \]很明显的，（以下先后将 \(x\) 当作多重线性映射和张量）
\[x^{i_1\cdots i_r}_{k_1\cdots k_s}=x(e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes {e^*}^{k_1}\otimes\cdots\otimes {e^*}^{k_s})=\left<{e^*}^{i_1}\otimes\cdots\otimes {e^*}^{i_r}\otimes e_{k_1}\otimes\cdots\otimes e_{k_s},x\right> \] 变换 \(V\) 的基以后，张量的分量遵循一定的变换规律。对于另一组基 \(\{\bar e_i,1\leqslant i\leqslant n\}\) ，相应的坐标变换矩阵是 \(\alpha=(\alpha^j_i)\) ，那么有
\[\bar e_i=\alpha_i^j e_j\ ,\ \ \ {\bar e^*}^i=(\alpha^{-1})^i_j {e^*}^j \]带入 \(x\) 的分量表达式，有
\[\begin{align*} x & =\bar x^{i_1\cdots i_r}_{k_1\cdots k_s}\bar e_{i_1}\otimes\cdots\otimes \bar e_{i_r}\otimes {\bar e^*}^{k_1}\otimes\cdots\otimes {\bar e^*}^{k_s} \\ & =\bar x^{i_1\cdots i_r}_{k_1\cdots k_s}\alpha_{i_1}^{j_1}\cdots\alpha_{i_r}^{j_r}(\alpha^{-1})_{l_1}^{k_1}\cdots(\alpha^{-1})_{l_s}^{k_s} e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_r}\otimes {e^*}^{l_1}\otimes\cdots\otimes {e^*}^{l_s} \end{align*} \]所以
\[x^{j_1\cdots j_r}_{l_1\cdots l_s}=\bar x^{i_1\cdots i_r}_{k_1\cdots k_s}\alpha_{i_1}^{j_1}\cdots\alpha_{i_r}^{j_r}(\alpha^{-1})_{l_1}^{k_1}\cdots(\alpha^{-1})_{l_s}^{k_s} \]这个变换公式可以说是张量的基本性质（如果采取经典张量分析的观点，即通过变换方式来刻画张量，那此式就是定义张量的依据）。
Note：以下讨论张量的代数性质，即其在各种运算下的结构。
作为向量空间， \(V^r_s\) 上有加法和数乘。通过多重线性映射的张量积，可以定义张量的乘法。
[Def 2.2] \((r_1,s_1)\) 型张量 \(x\) 和 \((r_2,s_2)\) 型张量 \(y\) ，它们的张量积 \(x\otimes y\) 是 \((r_1+r_2,s_1+s_2)\) 型张量，定义作
\[\begin{align*} x\otimes y & ({v^*}^1,\cdots,{v^*}^{r_1+r_2},v_1,\cdots,v_{s_1+s_2}) \\ & =x({v^*}^1,\cdots,{v^*}^{r_1},v_1,\cdots,v_{s_1})\cdot y({v^*}^{r_1+1},\cdots,{v^*}^{r_1+r_2},v_{s_1+1},\cdots,v_{s_1+s_2}) \end{align*} \]取定基后， \(x\otimes y\) 的分量是 \(x,y\) 的分量的积
\[(x\otimes y)^{i_{1}\cdots i_{r_1+r_2}}_{k_1\cdots k_{s_1+s_2}}=x^{i_1\cdots i_{r_1}}_{k_1\cdots k_{s_1}}\cdot y^{i_{r_1+1}\cdots i_{r_1+r_2}}_{k_{s_1+1}\cdots k_{s_1+s_2}} \]根据 §1 的讨论，张量的乘法满足分配律和结合律。
[Def 2.3] 取定两个指标 \(1\leqslant\lambda\leqslant r,1\leqslant\mu\leqslant s\) ，对于任意一个形如如下的 \((r,s)\) 型张量
\[x=v_1\otimes\cdots\otimes v_r\otimes {v^*}^1\otimes\cdots\otimes {v^*}^s \]令（其中 \(\hat v_\lambda\) 表示去掉这一因子）
\[C_{\lambda\mu}(x)=\left<v_\lambda,{v^*}^\mu\right>\cdot v_1\otimes\cdots\otimes \hat v_\lambda \otimes\cdots\otimes v_r\otimes {v^*}^1\otimes\cdots\otimes {\hat v^*}^\mu \otimes\cdots\otimes {v^*}^s \]那么 \(C_{\lambda\mu}(x)\in V^{r-1}_{s-1}\) ，将映射 \(x\mapsto C_{\lambda\mu}(x)\) 扩充到整个 \(V^r_s\) 上得到的线性映射 \(C_{\lambda\mu}:V^r_s\to V^{r-1}_{s-1}\) 称为缩并。
根据缩并的定义，取定基后，缩并 \(C_{\lambda\mu}(x)\) 的分量是将 \(x\) 第 \(\lambda\) 个上标和第 \(\mu\) 个下标“对应地”求和（从求和约定的角度看，就是将对应位置的指标 \(i_\lambda,k_\mu\) 换成求和指标 \(j\) ）
\[(C_{\lambda\mu}(x))^{i_1\cdots \hat i_\lambda\cdots i_r}_{k_1\cdots\hat k_\mu\cdots k_s}=x^{i_1\cdots \hat i_{\lambda-1}ji_{\lambda+1}\cdots i_r}_{k_1\cdots\hat k_{\mu-1}jk_{\mu+1}\cdots k_s} \]缩并降低了张量的阶数，是很基本的运算。例如，将方阵看做 \((1,1)\) 型张量，它的缩并就是它的迹。
下面讨论建立在张量上的代数结构。为了统一起见，记 \(V^r_0=T^r(V)\) 。记 \(\{1,\cdots,r\}\) 的置换群为 \(\mathscr{S}_r\) ，它的一个元素 \(\sigma\) 决定了 \(T^r(V)\) 上的一个自同态：对于 \(x\in T^r(V)\) 定义
\[\sigma x({v^*}^1,\cdots,{v^*}^r)=x({v^*}^{\sigma(1)},\cdots,{v^*}^{\sigma(r)}) \]其中 \({v^*}^i\in V^*\) 。容易证明对于 \(x=v_1\otimes\cdots\otimes v_r\) ，有（ \(\sigma^{-1}\) 表示 \(\sigma\) 的逆元）
\[\sigma x=v_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma^{-1}(r)} \][Def 2.4] 张量 \(x\in T^r(V)\) ，若对于任意的 \(\sigma\in\mathscr{S}_r\) ，都有 \(\sigma x=x\) ，则称 \(x\) 是对称的 \(r\) 阶反变张量，而若 \(\sigma x=\text{sgn}\ \sigma \cdot x\) ，（ \(\text{sgn}\) 表示置换的符号，偶置换取 \(+1\) ，奇置换取 \(-1\) ），则称 \(x\) 是反对称的 \(r\) 阶反变张量。全体对称的 \(r\) 阶反变张量记作集合 \(P^r(V)\) ，全体反对称的 \(r\) 阶反变张量记作 \(\varLambda^r(V)\) 。
推论：张量是对称的（或反对称的） \(\Leftrightarrow\) 张量的分量关于各指标是对称的（反对称的）。即取定基后，
\[x^{i_1\cdots i_r}=x^{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(r)}} \ \ \ \ \ \ \ \ (或\ x^{i_1\cdots i_r}=\text{sgn}\ \sigma\cdot x^{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(r)}}) \]
[Def 2.5] 对于 \(x\in T^r(V)\) ，定义 \(T^r(V)\) 的自同态
\[S_r(x)=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathscr{S}_r}{\sigma x}\ ,\ \ \ \ A_r(x)=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathscr{S}_r}{\text{sgn}\ \sigma\cdot\sigma x} \]分别称为 \(r\) 阶反变张量的对称化算子和反对称化算子。
推论：\(P^r(V)=S_r(T^r(V))\) ， \(\varLambda^r(V)=A_r(T^r(V))\) 。
相应的，\(r\) 阶协变张量也有相应的 \(T^r(V^*),P^r(V^*),\varLambda^r(V^*)\) 。
§3 外代数
由于Cartan系统地发展了外微分方法，反对称张量在对流形的研究中有十分重要的地位。
[Def 3.0] 反对称的 \(r\) 阶反变张量又称为外 \(r\) 次矢量，空间 \(\varLambda^r(V)\) 称为 \(V\) 上的外 \(r\) 次矢量空间。为了方便起见，规定 \(\varLambda^1(V)=V,\varLambda^0(V)=\mathbb{F}\) 。相应的，反对称的 \(r\) 阶协变张量又称为 \(r\) 次外形式，空间 \(\varLambda^r(V)\) 称为 \(V\) 上的 \(r\) 次外形式空间。
外矢量最重要的是外积运算。
[Def 3.1] 对于外 \(k\) 次矢量 \(\xi\) 和外 \(l\) 次矢量 \(\eta\) ，它们的外积 \(\xi\wedge\eta\) 是外 \(k+l\) 次矢量，定义为
\[\xi\wedge\eta=\frac{(k+l)!}{k!l!}A_{k+l}(\xi\otimes\eta)= \frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\in\mathscr{S}_{k+l}}{\text{sgn}\ \sigma\cdot\sigma(\xi\otimes\eta)} \][Theo 3.1] 外积满足运算律（以下的 \(\xi,\xi_1,\xi_2\in\varLambda^k(V),\eta,\eta_1,\eta_2\in\varLambda^l(V),\zeta\in\varLambda^h(V)\) ）
\((1)\) 分配律：\((\xi_1+\xi_2)\wedge\eta=\xi_1\wedge\eta+\xi_2\wedge\eta\) ，\(\xi\wedge(\eta_1+\eta_2)\wedge=\xi\wedge\eta_1+\xi\wedge\eta_2\) 。
\((2)\) 反交换律： \(\eta\wedge\xi=(-1)^{kl}\xi\wedge\eta\) ；继而 \(\xi\wedge\xi=0\) 。
\((3)\) 结合律：\((\xi\wedge\eta)\wedge\zeta=\xi\wedge(\eta\wedge\zeta)\) 。
Proof：\((1)\) 基于反对称化算子的线性性质。\((2)\) 需要构造一个置换
\[\tau=\left(\begin{matrix} 1 & \cdots & l & l+1 & \cdots & l+k \\ k+1 & \cdots & k+l & 1 & \cdots & k \end{matrix}\right) \]那么 \(\eta\wedge\xi=\tau(\xi\wedge\eta)=(-1)^{kl}\xi\wedge\eta\) 。\((3)\) 通过定义计算可以得到
\[(\xi\wedge\eta)\wedge\zeta=\frac{(k+l+h)!}{k!l!h!}A_{k+l+h}(\xi\otimes\eta\otimes\zeta)=\xi\wedge(\eta\wedge\zeta) \]
下面考虑外矢量空间的基。若外矢量 \(\xi=\xi^{i_1\cdots i_r}e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\) ，由于反对称化算子的线性性质，
\[\xi=A_r(\xi)=\xi^{i_1\cdots i_r}A_r(e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r})= \frac{1}{r!}\xi^{i_1\cdots i_r}e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r} \]因此，次数 \(r>n\) 的外矢量都是零，即 \(\varLambda^r(V)=\{0\}\) 。由于 \(\xi^{i_1\cdots i_r}\) 关于上标是反对称的，则 \(\xi\) 可以写成
\[\xi=\sum_{i_1<\cdots<i_r}{\xi^{i_1\cdots i_r}e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}} \] 下面证明这样的一共 \(C_n^r\) 个 \(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}\) 是线性无关的。首先考虑将 \(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}\) 视作多重线性函数时它的作用效果。对于 \({v^*}^1,\cdots,{v^*}^r\in V^*\) ：
\[\begin{align*} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}({v^*}^1,\cdots,{v^*}^r) & =\sum_{\sigma\in\mathscr{S}_r}{\text{sgn}\ \sigma\cdot\left<e_{i_1},{v^*}^{\sigma(1)}\right>\cdots\left<e_{i_r},{v^*}^{\sigma(r)}\right>} \\ & =\det\left(\begin{matrix} \left<e_{i_1},{v^*}^{\sigma(1)}\right> &\cdots& \left<e_{i_1},{v^*}^{\sigma(r)}\right> \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ \left<e_{i_r},{v^*}^{\sigma(1)}\right> &\cdots &\left<e_{i_r},{v^*}^{\sigma(r)}\right> \end{matrix}\right) =\det\left(\left<e_{i_\alpha},{v^*}^\beta\right>\right) \end{align*} \]特别的，
\[\begin{align*} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r} & ({e^*}^{j_1},\cdots,{e^*}^{j_r}) =\det\left(\left<e_{i_\alpha},{e^*}^{j_\beta}\right>\right) \\ & =\delta^{j_1\cdots j_r}_{i_1\cdots i_r} =\left\{\begin{aligned} & 1 && \{i_\alpha\}两两不同，且\{j_\beta\}是其偶排列 \\ & -1 && \{i_\alpha\}两两不同，且\{j_\beta\}是其奇排列 \\ & 0 && 其他情况 \end{aligned}\right. \end{align*} \]其中记号 \(\delta^{j_1\cdots j_r}_{i_1\cdots i_r}\) 称为广义Kronecker记号。
下面验证线性无关性。若不然，对于
\[\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_r\leqslant n}{a^{i_1\cdots i_r}e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}}=0 \]其中某个 \(a^{i_1\cdots i_r}\neq 0\) ，假设与其互补的指标是 \(k_1,\cdots,k_{n-r}\) ，那么用 \(e_{k_1}\wedge\cdots\wedge e_{k_{n-r}}\) 外乘上式的两边，得（左边外乘后仅有一项，因为其他的指标组都与 \(k_1,\cdots,k_{n-r}\) 有重复）
\[(a^{i_1\cdots i_r}e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r})\wedge(e_{k_1}\wedge\cdots\wedge e_{k_{n-r}})=\pm\ a^{i_1\cdots i_r}e_1\wedge\cdots\wedge e_n=0 \]而 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n\neq 0\) （因为 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n({e^*}^1,\cdots,{e^*}^n)=1\) ），则 \(a^{i_1\cdots i_r}=0\) ，矛盾。因此这组外矢量是线性无关的。它们因而是 \(\varLambda^r(V)\) 的基， \(\dim\varLambda^r(V)=C_n^r\) 。
[Def 3.2] 各个 \(0\leqslant r\leqslant n\) 的 \(\varLambda^r(V)\) 的直和记作 \(\varLambda(V)\) ，这是一个 \(2^n\) 维向量空间，其上定义的外积运算为
\[\left(\sum_{r=0}^{n}{\xi^r}\right)\wedge\left(\sum_{s=0}^{n}{\eta^s}\right) =\sum_{r,s=0}^{n}{\xi^r\wedge\eta^s} \]这样得到一个 \(\mathbb F\) 上的代数，称为 \(V\) 的外代数，或Grassmann代数。
同样的，有 \(V^*\) 上的外代数 \(\varLambda(V^*)\) 。相互对偶的 \(\varLambda^r(V),\varLambda^r(V^*)\) 有自然的配合
\[\left<v_1\wedge\cdots\wedge v_r,{v^*}^1\wedge\cdots\wedge{v^*}^r\right>=\det\left(\left<v_\alpha,{v^*}^\beta\right>\right) \]Note：\(\varLambda^r(V),\varLambda^r(V^*)\) 作为 \(T^r(V),T^r(V^*)\) 的子空间，继承了 \(T^r(V),T^r(V^*)\) 上的配合，这个配合与上式定义的配合之间相差一个系数 \(r!\) 。在上下文中，这两种配合是无歧义的。
下面考虑两个外代数之间的关系。线性映射 \(f:V\to W\) 在每一 \(r\) 次外形式空间（\(1\leqslant r\leqslant n\)）上都诱导出映射 \(f^*:\varLambda^r(V^*)\to\varLambda^r(W^*)\) 。具体而言，对于 \(\varphi\in\varLambda^r(W^*)\) ，和任意 \(v_1,\cdots,v_r\in V\) ，
\[f^*\varphi(v_1,\cdots,v_r)=\varphi(f(v_1),\cdots,f(v_n)) \][Theo 3.2] 对于任意 \(\varphi\in\varLambda^r(W^*),\psi\in\varLambda^s(V^*)\) ，有 \(f^*(\varphi\wedge\psi)=f^*\varphi\wedge f^*\psi\) 。
Proof：任意 \(v_1,\cdots,v_{r+s}\in V\) ，有
\[\begin{align*} f^*(\varphi\wedge\psi)&(v_1,\cdots,v_{r+s}) =\varphi\wedge\psi(f(v_1),\cdots,f(v_{r+s})) \\ & =\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in\mathscr{S}_{r+s}}{\text{sgn}\ \sigma\cdot\varphi(f(v_{\sigma(1)}),\cdots,f(v_{\sigma(r)}))\cdot\psi(f(v_{\sigma(r+1)}),\cdots,f(v_{\sigma(r+s)}))} \\ & =\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in\mathscr{S}_{r+s}}{\text{sgn}\ \sigma\cdot f^*\varphi(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(r)})\cdot f^*\psi(v_{\sigma(r+1)},\cdots,v_{\sigma(r+s)})} \\ & =f*\varphi\wedge f^*\psi(v_1,\cdots,v_{r+s}) \end{align*} \]
下面的几个命题体现了外代数在线性代数方面的性质。
[Theo 3.3] 矢量 \(v_1,\cdots,v_r\in V\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) \(v_1\wedge\cdots\wedge v_r=0\)
Proof：\(\Rightarrow\) ：不妨假设 \(v_r=a^1v_1+\cdots+a^{r-1}v_{r-1}\) ，则将外积用结合律展开之后，每一项都是 \(0\) 。
\[v_1\wedge\cdots\wedge v_r\wedge v_{r+1}\wedge\cdots\wedge v_n\neq 0 \]
\(\Leftarrow\) ：证其逆否。线性无关的 \(v_1,\cdots,v_r\) 可以扩充成 \(V\) 的基 \(v_1,\cdots,v_r,v_{r+1},\cdots,v_n\) ，而因此 \(v_1\wedge\cdots\wedge v_r\neq 0\) 。
[Theo 3.4]（Cartan引理）\(v_1,\cdots,v_r\) 和 \(w_1,\cdots,w_r\) 是 \(V\) 的两组矢量，满足
\[\sum_{i=1}^{r}{v_i\wedge w_i}=0 \]如果 \(v_1,\cdots,v_r\) 线性无关，则 \(w_\alpha\) 可以表示为其线性组合
\[w_\alpha=\sum_{\beta=1}^{r}{a_{\alpha\beta}v_\beta} \]且 \(a_{\alpha\beta}=a_{\beta\alpha}\) 。
Proof：将 \(v_1,\cdots,v_r\) 扩充成 \(V\) 的基 \(v_1,\cdots,v_r,v_{r+1},\cdots,v_n\) ，并表示 \(w_\alpha\) 为
\[w_\alpha=\sum_{\beta=1}^{r}{a_{\alpha\beta}v_\beta}+\sum_{i=r+1}^{n}{a_{\alpha i}v_i} \]将其带入外积的条件，得到
\[\begin{align*} 0 &=\sum_{\alpha,\beta=1}^{r}{a_{\alpha\beta}v_\alpha\wedge v_\beta}+\sum_{\alpha=1}^{r}\sum_{i=r+1}^{n}{a_{\alpha i}v_\alpha\wedge v_i} \\ &=\sum_{1\leqslant\alpha<\beta\leqslant r}{(a_{\alpha\beta}-a_{\beta\alpha})v_\alpha\wedge v_\beta}+\sum_{\alpha=1}^{r}\sum_{i=r+1}^{n}{a_{\alpha i}v_\alpha\wedge v_i} \end{align*} \]可见 \(\{v_\alpha\wedge v_\beta,v_\alpha\wedge v_i\}\) 是 \(\varLambda^2(V)\) 的一组基，因此
\[a_{\alpha\beta}-a_{\beta\alpha}=0\ ,\ \ \ \ a_{\alpha i}=0 \]即
\[w_\alpha=\sum_{\beta=1}^{r}{a_{\alpha\beta}v_\beta}\ ,\ \ \ \ a_{\alpha\beta}=a_{\beta\alpha} \]
[Theo 3.5] 线性无关的 \(v_1,\cdots,v_r\in V\) ，外 \(p\) 次矢量 \(w\) 。存在 \(\psi_1,\cdots,\psi_r\in\varLambda^{p-1}(V)\) 使得
\[w=v_1\wedge\psi_1+\cdots+v_r\wedge\psi_r \]的充要条件是 \(v_1\wedge\cdots\wedge v_r\wedge w=0\) 。
Proof：当 \(p+r>n\) 时，两个式子都是显然成立的（前者是因为 \(\dim\varLambda^p(V)<r\dim\varLambda^{p-1}(V)\) ，后者是因为高于 \(n\) 次的外矢量 \(=0\)）。下面假设 \(p+r\leqslant n\) ，必要性是显然的。充分性：将 \(v_1,\cdots,v_r\) 扩充成 \(V\) 的基 \(v_1,\cdots,v_r,v_{r+1},\cdots,v_n\) ，则 \(w\) 可以表示为
\[w=v_1\wedge\psi_1+\cdots+v_r\wedge\psi_r+\sum_{r+1\leqslant a_1<\cdots<a_p\leqslant n}{\xi^{a_1\cdots a_p}v_{a_1}\wedge\cdots\wedge v_{a_p}} \]其中 \(\psi_1,\cdots,\psi_r\in\varLambda^{p-1}(V)\) 。带入条件式得到
\[\sum_{r+1\leqslant a_1<\cdots<a_p\leqslant n}{\xi^{a_1\cdots a_p}v_1\wedge\cdots\wedge v_r\wedge v_{a_1}\wedge\cdots\wedge v_{a_p}}=0 \]而这些 \(v_1\wedge\cdots\wedge v_r\wedge v_{a_1}\wedge\cdots\wedge v_{a_p}\) 组成 \(\varLambda^{p+r}(V)\) 的基的一部分，因此 \(\xi^{a_1\cdots a_p}=0\) ，即得证。
Note：这种情况通常记作 \(w\equiv 0\ (\text{mod}\ (v_1,\cdots,v_r))\) 。注意与 第一章 注4 的异同。
[Theo 3.6] \(V\) 中的两组矢量 \(v_\alpha,w_\alpha;v'_\alpha,w'_\alpha\ (1\leqslant\alpha\leqslant k)\) 。如果 \(v_\alpha,w_\alpha\) 线性无关，且满足
\[\sum_{\alpha=1}^{k}{v_\alpha\wedge w_\alpha}=\sum_{\alpha=1}^{k}{v'_\alpha\wedge w'_\alpha} \]则 \(v'_\alpha,w'_\alpha\) 线性无关，可以表示为 \(v_\alpha,w_\alpha\) 的线性组合。
Proof：将条件式自乘 \(k\) 次，得到
\[k!(v_1\wedge w_1\wedge\cdots\wedge v_k\wedge w_k)=k!(v'_1\wedge w'_1\wedge\cdots\wedge v'_k\wedge w'_k) \]由 [Theo 3.3] 知 \(v'_\alpha,w'_\alpha\) 线性无关。式子两边同时外乘 \(v'_\alpha\) ，得
\[v_1\wedge w_1\wedge\cdots\wedge v_k\wedge w_k\wedge v'_\alpha=0 \]因此 \(v'_\alpha\) 可以表示为 \(v_\alpha,w_\alpha\) 的线性组合。
Note：以下简单介绍一下Grassmann流形的定义，但是略去它的性质。
用 \(G(k,n)\) 表示 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的 \(k\) 维子空间 \(L^k\) 构成的集合。其上有自然的微分结构，得到的 \(k(n-k)\) 维微分流形称为Grassmann流形。\(k=1\) 时得到的 \(G(1,n)\) 即是射影空间 \(P^{n-1}\) 。
对于 \(L^k\in G(k,n)\) ，取它的一组基 \(v_1,\cdots,v_k\) ，定义外矢量 \(\xi=v_1\wedge\cdots\wedge v_k\) ，称为该子空间的Plücker-Grassmann坐标。对于另一组基 \(w_1,\cdots,w_k\) ，有坐标变换
\[w_j=\sum_{i=1}^{k}{t_j^iv_i} \]那么另一个这样的外矢量 \(\xi'=w_1\wedge\cdots\wedge w_k\) 满足
\[\xi'=w_1\wedge\cdots\wedge w_k=\det(t_j^i)v_1\wedge\cdots\wedge v_k=\det(t_j^i)\xi \]因此Plücker-Grassmann坐标被确定到只差一个非零数量因子。 \(k=1\) 时这就是射影空间的齐次坐标[4]。
具体而言，取定 \(V\) 的基 \(\{e_1,\cdots,e_n\}\) 。对于 \(L^k\in G(k,n)\) ，取它的一组基 \(v_1,\cdots,v_k\) ，表示为
\[v_\alpha=\sum_{i=1}^{n}v_\alpha^i e_i \]那么 \(L^k\) 的Plücker-Grassmann坐标为
\[\xi=v_1\wedge\cdots\wedge v_k=\sum_{i_1<\cdots<i_k}{p^{i_1\cdots i_k}e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}} \]其中的系数
\[p^{i_1\cdots i_k}=\det\left(\begin{matrix} v_1^{i_1} & \cdots & v_1^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_k^{i_1} & \cdots & v_k^{i_k} \end{matrix}\right)=\det(v_\alpha^{i_{\beta}}) \]被确定到只差一个非零数量因子。
由于系数的个数 \(C_n^k\) 不小于空间的维数 \(k(n-k)\) ，各个系数 \(p^{i_1\cdots i_k}\) 之间存在着约束条件。这个约束条件称为Plücker方程（又称为Plücker Relations）。
结合第一章的讨论，从对偶空间出发，利用其自然的函数性来讨论问题，能带来不少方便。 ↩︎
事实上，\(V\) 与 \(V^*\) 不一定按定义式中的次序排列，这里是为了方便，并且不妨忽视排列次序这一点。 ↩︎
有必要强调上下标的意义。约定反变的基矢量使用下标，协变的基矢量使用上标。为了Einstein求和约定，相应的与反变基矢量对应的指标使用上标，与协变基矢量对应的指标使用下标。在确定了基的情况下，用分量的形式表示张量，则分量的上标对应反变阶数，下标对应协变阶数。 ↩︎
事实上 \(G(k,n)\) 与射影空间有更深刻的关系：存在着Plücker嵌入 \(G(k,n)\to P^{C_n^k-1}\) （后者可以看作定义在 \(\varLambda^k(V)\) 上的射影空间） ↩︎