第二章多重线性代数Note：本文默认了基本的向量空间和矩阵的相关知识。本文中所有的向量空间默认是有限维的，且定义在一个域\(\mathbb{F}\)上。本文采用Einstein求和约定。§1张量积[Def1.1]对于向量空间\(V_1,\cdots,V_r\)和\(Z\)，若映射\(f:V_1\times\cdots\timesV

B平面上有\(n\)个点以及\(k\)条未知的平行线，每个点都分属一条线，每条线都有至少\(2\)点。给出一种方案。\(n\le4e4,k\le50\)。每个点分属一条线的条件非常重要。考虑利用鸽巢原理。考虑取出\(k+1\)个没有两对点同斜率的点，那么，至少有两个点在一条线上，那么就可以确定斜

先给出比赛链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/91452下面说一下难度分层：(同一难度下按字典序排序)Easy(简单):B,FMedium(中等):A,E,HHard(困难):C,GAnti-AK(防AK):D,Icin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);//加速输入输出的A游游的整数翻转将所

矩阵可以看成一个二维数组，\(A_{i,j}\)表示第\(i\)行第\(j\)列的元素。一般来说，定义广义上的加法\(\oplus\)和乘法\(\otimes\)，那么矩阵乘法定义如下：设\(A\)是\(P\timesM\)的矩阵，\(B\)是\(M\timesQ\)的矩阵，\(C=AB\)是\(P\timesQ\)的矩阵，那么有，\[C_{i,j}=\bi

数论相关积性函数推论1：积性函数\(f\)一定满足\(f(1)=1\)。推论2：通过质数点值可以唯一确定完全积性函数，因为质数可以组成所有的数；通过所有\(p^k\)处的点值可以唯一确定积性函数，因为积性函数有前置条件\(n\botm\)所以要组合出有多个质因子\(p\)的数就需要\(p^k\)

函数是分析学研究的主要对象之一。为了研究函数的各种性质，必须给出实数集的精确定义，因为函数作用在实数集上。数学中的数是极为抽象但又极为基础的对象。关于数的理论是一门丰富的独立课程。在本节中，作者主要罗列了有关实数的一些基本结论。实数集的定义如果以下四组条件

A给定序列\(A\)，满足对于\(i\)为奇数的\(A_i=\frac{i+1}{2}\)，\(i\)为偶数的\(A_{i}=n+1-\frac{i}{2}\)。多次给出\(s\)，求有多少\(l,r\in[1,n]\)满足\(\sum_{i=l}^rA_i=s\)。\(n\le10^9,s\le10^{18}\)。简单分讨，判断\(s\)是否为\(n+1\)或\(n+2\)的倍数。B定

ChatGLM:AFamilyofLargeLanguageModelsfromGLM-130BtoGLM-4AllTools(2024.7.16)Code:https://github.com/THUDMandhttps://huggingface.co/THUDM以下是模型架构的主要改进点：无偏置（NoBiasExceptQKV）：为了提高训练速度，除了Query、Key、Value（QKV）的偏置外，模型中去

外直积与内直积(ExternalDirectProduct&InternalDirectProduct)\(\newcommand{\ord}{\text{ord}}\)假设我们有两个群，它们可以是毫不相关的，记为\(H,K\)。我们可以用笛卡尔积的方式生成二元组的集合\(\barG=H\timesK=\{(h,k)\midh\inH,k\inK\}\)。在\(\barG\)上定义二

FWT/快速沃尔什变换前言FWT是处理一类问题形如（\(\oplus\)指or,and,xor二元运算符）\[c_{i}=\sum_{i=j\oplusk}a_{j}b_{k}\]考虑像FFT一样，用\(O(n\logn)\)的复杂度构造出\(fwt\)，在\(O(n)\)计算出\(fwt_a\timesfwt_b\)，最后在\(O(n\logn)\)将\(fwt\)转化回去正题OR考虑构

寒假有朋友打电话吐槽九省联考，看了眼数学卷子感觉非常刺激。刚开学没事干，试着做一下\(19\).(\(17\)分)离散对数在密码学中有重要的应用。设\(p\)是素数，集合\(X=\{1,2,\cdots,p-1\}\)，若\(u,v\inX,m\in\mathbb{N}\)，记\(u\otimesv\)为\(uv\)除以\(p\)的余数，\(u^{m,

\(\newcommand{\sfT}{\mathsfT}\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\)为了避免歧义,我们这里约定\[H=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\]以及\(2^n\times2^n\)的Hadamard矩阵写作\(H^{\otimesn}\).令\(N=2^n\).低深度电路的算法这里我们

Wetab笔记，给你更好的笔记体验这里是Wetab新标签官网(右键点击打开链接)以下特性可以为你的笔记带来非常棒的体验：

ATAGC043C-GiantGraph因为\({(10^{18})}^{x+y+z}\)的底数很大，所以我们贪心的选择\(x+y+z\)大的点是存在正确性的。那么我们从小点向大点连有向边，形成DAG后，对于一个点，如果它指向的点都没有被选取，那么选择它，否则不选。我们发现这样的选取过程和求SG函数是一样的，并且每

几何分布\[P(x=k)=(1-a)^{k-1}a,k>0\]容易发现，\(E(x)=\dfrac{1}{a}\)。Min-Max容斥对于集合\(S\)，有：\[\max(S)=\sum_{T\subseteqS,T\neq\emptyset}\min(T)(-1)^{|T|+1}\]依据期望的线性性，有：\[E(\max(S))=\sum_{T\subseteqS,T\neq\emptyset}E(\min(T))(-1)^{|

CF1680FLenientVertexCover下面用\(G\)表示一个环的边集，记作环\(G\)。我们令一个环\(G\)的价值为它经过的返祖边数量，记作\(Z(G)\)，下面给出核心结论：若存在一条边\(e_0\)经过所有\(Z(G)=1\)的奇环，且不经过任意一个\(Z(G)=1\)的偶环，那么\(e_0\)经过所有奇环

A多次询问\(l,r\)，求\(\sum_{x=l}^r\sum_{y=x}^ra_x\otimes\gcd(a_x\sima_y)\)，其中$\otimes$是异或。我们先拆解询问，\(Ans=\sum_{x=1}^r\sum_{y=x}^ra_x\otimes\gcd(a_x\sima_y)-\sum_{x=1}^{l-1}\sum_{y=x}^ra_x\otimes\gcd(a_x\sima_y)\)然后离线处理一下

计算几何向量高一知识，略讲。向量外积若\(\vecx=(x_1,y_1),\vecy=(x_2,y_2)\)，则有\(\vecx\times\vecy=x_1y_2-y_1x_2\)。或者表示为\(|\vecx||\vecy|\sin\theta\)，其中\(\theta\)表示向量间的夹角。几何意义：两个向量构成的平行四边形的面积（可以

此随笔是修复版，请尊重原创。修复版markdown见下修复自矩阵乘法笔记-Elegia：https://www.luogu.com.cn/blog/EntropyIncreaser/ju-zhen-sheng-fa-bi-ji矩阵乘法的基本定理矩阵乘法结合律设有矩阵\(A,B,C\)，分别的大小为\(n\timesm,m\timesp,p\timesq\)。求证

CF1815Div.1确实难，VirtualContest上只完成了两道题，想出来了三道题。A.IanandArraySorting秒切题……考虑将前\(n-1\)个数变成一样的一个数\(x\)。显然可以完成。然而考虑此时最后一个数。如果\(\gex\)，那么是\(\texttt{\colorbox{#52C41A}{\textcolor{white}

博弈论入门前言：本篇按照Qingyu在省集讲的加入我这个萌新的萌新理解而成。听了Qingyu的博弈论讲解，感觉我之前学过的博弈就是冰山一角。由于有一些东西没听懂，就主要写写我听懂的部分，没懂得以后再说吧。所以这篇只是一个入门，关于博弈的一些习题可能会咕咕咕。平等博弈（非偏

1.外代数1.3.wedgeproduct包含vectorspaces的直和，性质\((1,\text{a})\)以及如下性质叫做外代数（exterioralgebra）a). 双线性(bilinear)\[\begin{aligned}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\wedge\psi&=\varphi_{1}\wedge\psi+\varphi_{2}\wedge\psi\

洛谷传送门AtCoder传送门没见过这种在新运算下做卷积的题，感觉挺新奇的。考虑Takahashi成为绝对赢家的必要条件，发现前提是Aoki和Snuke出的要相同。不妨将每种策略映射到一个四进制数（\(P\to1,R\to2,S\to3\)），定义运算\(x\otimesy=\begin{cases}x&x=y\\0

1计算路径数对于一个边权为\(\bf1\)的图（有向或无向）的邻接矩阵\(G\)，考虑它的幂的意义是什么。设\(c_{i,j}\)表示\(i\)和\(j\)之间是否有连边，则有\[G=\begin{bmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&\cdots&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&\cdots&c_{2,n}\\\vdots&am

目录概HypercubeGeneralizingHypercubesSpielmanD.A.SpectralandAlgebraicGraphTheory.概设计Hypercube的特征值和特征向量的证明着实有趣,特此记录.Hypercube对于两个加权图\(G=(V,E,v)\)和\(H=(W,F,w)\)而言,\(G\timesH\)表示点集为\(V\t