外直积与内直积(ExternalDirectProduct&InternalDirectProduct)\(\newcommand{\ord}{\text{ord}}\)假设我们有两个群，它们可以是毫不相关的，记为\(H,K\)。我们可以用笛卡尔积的方式生成二元组的集合\(\barG=H\timesK=\{(h,k)\midh\inH,k\inK\}\)。在\(\barG\)上定义二

FWT/快速沃尔什变换前言FWT是处理一类问题形如（\(\oplus\)指or,and,xor二元运算符）\[c_{i}=\sum_{i=j\oplusk}a_{j}b_{k}\]考虑像FFT一样，用\(O(n\logn)\)的复杂度构造出\(fwt\)，在\(O(n)\)计算出\(fwt_a\timesfwt_b\)，最后在\(O(n\logn)\)将\(fwt\)转化回去正题OR考虑构

寒假有朋友打电话吐槽九省联考，看了眼数学卷子感觉非常刺激。刚开学没事干，试着做一下\(19\).(\(17\)分)离散对数在密码学中有重要的应用。设\(p\)是素数，集合\(X=\{1,2,\cdots,p-1\}\)，若\(u,v\inX,m\in\mathbb{N}\)，记\(u\otimesv\)为\(uv\)除以\(p\)的余数，\(u^{m,

\(\newcommand{\sfT}{\mathsfT}\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\)为了避免歧义,我们这里约定\[H=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\]以及\(2^n\times2^n\)的Hadamard矩阵写作\(H^{\otimesn}\).令\(N=2^n\).低深度电路的算法这里我们

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ATAGC043C-GiantGraph因为\({(10^{18})}^{x+y+z}\)的底数很大，所以我们贪心的选择\(x+y+z\)大的点是存在正确性的。那么我们从小点向大点连有向边，形成DAG后，对于一个点，如果它指向的点都没有被选取，那么选择它，否则不选。我们发现这样的选取过程和求SG函数是一样的，并且每

几何分布\[P(x=k)=(1-a)^{k-1}a,k>0\]容易发现，\(E(x)=\dfrac{1}{a}\)。Min-Max容斥对于集合\(S\)，有：\[\max(S)=\sum_{T\subseteqS,T\neq\emptyset}\min(T)(-1)^{|T|+1}\]依据期望的线性性，有：\[E(\max(S))=\sum_{T\subseteqS,T\neq\emptyset}E(\min(T))(-1)^{|

CF1680FLenientVertexCover下面用\(G\)表示一个环的边集，记作环\(G\)。我们令一个环\(G\)的价值为它经过的返祖边数量，记作\(Z(G)\)，下面给出核心结论：若存在一条边\(e_0\)经过所有\(Z(G)=1\)的奇环，且不经过任意一个\(Z(G)=1\)的偶环，那么\(e_0\)经过所有奇环

A多次询问\(l,r\)，求\(\sum_{x=l}^r\sum_{y=x}^ra_x\otimes\gcd(a_x\sima_y)\)，其中$\otimes$是异或。我们先拆解询问，\(Ans=\sum_{x=1}^r\sum_{y=x}^ra_x\otimes\gcd(a_x\sima_y)-\sum_{x=1}^{l-1}\sum_{y=x}^ra_x\otimes\gcd(a_x\sima_y)\)然后离线处理一下

计算几何向量高一知识，略讲。向量外积若\(\vecx=(x_1,y_1),\vecy=(x_2,y_2)\)，则有\(\vecx\times\vecy=x_1y_2-y_1x_2\)。或者表示为\(|\vecx||\vecy|\sin\theta\)，其中\(\theta\)表示向量间的夹角。几何意义：两个向量构成的平行四边形的面积（可以

此随笔是修复版，请尊重原创。修复版markdown见下修复自矩阵乘法笔记-Elegia：https://www.luogu.com.cn/blog/EntropyIncreaser/ju-zhen-sheng-fa-bi-ji矩阵乘法的基本定理矩阵乘法结合律设有矩阵\(A,B,C\)，分别的大小为\(n\timesm,m\timesp,p\timesq\)。求证

CF1815Div.1确实难，VirtualContest上只完成了两道题，想出来了三道题。A.IanandArraySorting秒切题……考虑将前\(n-1\)个数变成一样的一个数\(x\)。显然可以完成。然而考虑此时最后一个数。如果\(\gex\)，那么是\(\texttt{\colorbox{#52C41A}{\textcolor{white}

博弈论入门前言：本篇按照Qingyu在省集讲的加入我这个萌新的萌新理解而成。听了Qingyu的博弈论讲解，感觉我之前学过的博弈就是冰山一角。由于有一些东西没听懂，就主要写写我听懂的部分，没懂得以后再说吧。所以这篇只是一个入门，关于博弈的一些习题可能会咕咕咕。平等博弈（非偏

1.外代数1.3.wedgeproduct包含vectorspaces的直和，性质\((1,\text{a})\)以及如下性质叫做外代数（exterioralgebra）a). 双线性(bilinear)\[\begin{aligned}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\wedge\psi&=\varphi_{1}\wedge\psi+\varphi_{2}\wedge\psi\

洛谷传送门AtCoder传送门没见过这种在新运算下做卷积的题，感觉挺新奇的。考虑Takahashi成为绝对赢家的必要条件，发现前提是Aoki和Snuke出的要相同。不妨将每种策略映射到一个四进制数（\(P\to1,R\to2,S\to3\)），定义运算\(x\otimesy=\begin{cases}x&x=y\\0

1计算路径数对于一个边权为\(\bf1\)的图（有向或无向）的邻接矩阵\(G\)，考虑它的幂的意义是什么。设\(c_{i,j}\)表示\(i\)和\(j\)之间是否有连边，则有\[G=\begin{bmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&\cdots&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&\cdots&c_{2,n}\\\vdots&am

目录概HypercubeGeneralizingHypercubesSpielmanD.A.SpectralandAlgebraicGraphTheory.概设计Hypercube的特征值和特征向量的证明着实有趣,特此记录.Hypercube对于两个加权图\(G=(V,E,v)\)和\(H=(W,F,w)\)而言,\(G\timesH\)表示点集为\(V\t

记录下由$\min$与$+$运算转换成类似于矩阵乘法的推导过程，有错误请在评论区指出qwq。我们先简单证明一下矩阵乘法的结合律。设有矩阵$A_{n\timesm}$，$B_{m

ComplexificationThecomplexificationoftherealvectorspace\(\mathbb{R}^n\)isthecomplexvectorspace\(\mathbb{C}^n\).Thecomplexificationofthereal

快速位运算变换学习笔记集合占位幂级数设\(R\)是环，定义\(R\langleS\rangle={(2^S)}^R\)，同时定义\(R\langleS\rangle\)中的加法和乘法：\[(a+b)(S)=a(S)+b(S)\\(

什么究极深奥博弈论啊，是不是被刻在神秘石头上了才这么神秘啊。注意，以下定义都十分神秘，看不懂原理的话建议直接记。推荐阅读：Nim积解法小结-zjp_shadow，Nimber系列略学习

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一般地，如果矩阵中的加法和乘法满足一个半环，那么矩阵乘法满足交换律。一个半群由集合\(A\)和两个定义在\(A\)上的二元运算\(\oplus\)和\(\otimes\)构成，其中：\((A

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