函数是分析学研究的主要对象之一。为了研究函数的各种性质，必须给出实数集的精确定义，因为函数作用在实数集上。
数学中的数是极为抽象但又极为基础的对象。关于数的理论是一门丰富的独立课程。在本节中，作者主要罗列了有关实数的一些基本结论。
实数集的定义
如果以下四组条件成立，则称集合 R \mathbb{R} R 为实数集，这些条件称为实数公理系统。
加法公理
定义了一个映射（加法运算） ⊕ : R × R → R \oplus:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} ⊕:R×R→R , 使得 R \mathbb{R} R 中元素 x , y x,y x,y 的每个序偶 ( x , y ) (x,y) (x,y) 都与某元素 x ⊕ y ∈ R x\oplus y\in \mathbb{R} x⊕y∈R 相对应，后者称为 x x x 与 y y y 的和，并且有以下条件成立：
1 ⊕ 1_\oplus 1⊕ 存在零元素 存在一个零元 0 0 0 , 对于任何的 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R , 都有 x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x x\oplus0=0\oplus x=x x⊕0=0⊕x=x .
2 ⊕ 2_\oplus 2⊕ 存在相反元素 对于任何元素 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R , 都存在一个 − x ∈ R -x\in \mathbb{R} −x∈R , 称为 x x x 的相反元素，它满足 x ⊕ ( − x ) = ( − x ) ⊕ x = 0 x\oplus(-x)=(-x)\oplus x=0 x⊕(−x)=(−x)⊕x=0 .
3 ⊕ 3_\oplus 3⊕ 结合律 R \mathbb{R} R 中的任何元素 x , y , z x,y,z x,y,z 满足 x ⊕ ( y ⊕ z ) = ( x ⊕ y ) ⊕ z x\oplus(y\oplus z)=(x\oplus y)\oplus z x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z .
4 ⊕ 4_\oplus 4⊕ 交换律 R \mathbb{R} R 的任何元素 x , y x,y x,y 满足 x ⊕ y = y ⊕ x x\oplus y=y\oplus x x⊕y=y⊕x
如果在某集合 G G G 上定义了满足公理 1 ⊕ , 2 ⊕ , 3 ⊕ 1_\oplus,2_\oplus,3_\oplus 1⊕,2⊕,3⊕ 的运算 , 我们就说在 G G G 上给定了群结构，即 G G G 是群 .
如果称该运算为加法，就称这个群为加法群 . 如果在此基础上 ， 4 ⊕ 4_\oplus 4⊕ 也满足，则称这个群为交换群或阿贝尔群 .
于是， R \mathbb{R} R 是加法阿贝尔群 .
乘法公理
定义了一个映射 (乘法运算) ⊗ : R × R → R \otimes :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} ⊗:R×R→R , 使得 R \mathbb{R} R 中元素 x , y x,y x,y 的每个序偶 ( x , y ) (x,y) (x,y) 都与某元素 x ⊗ y ∈ R x\otimes y\in \mathbb{R} x⊗y∈R 相对应，后者称为 x x x 与 y y y 的积，并且有以下条件成立：
1 ⊗ 1_\otimes 1⊗ 存在单位元素 存在一个单位元素 1 ∈ R − { 0 } 1\in \mathbb{R}-\{0\} 1∈R−{0} , 对于任何的 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R , 都有 x ⊗ 1 = 1 ⊗ x = x x\otimes1=1\otimes x=x x⊗1=1⊗x=x .
2 ⊗ 2_\otimes 2⊗ 存在逆元素 对于任何元素 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R , 都存在一个 x − 1 ∈ R x^{-1}\in \mathbb{R} x−1∈R , 称为 x x x 的逆元素，它满足 x ⊗ ( − x ) = ( − x ) ⊗ x = 1 x\otimes(-x)=(-x)\otimes x=1 x⊗(−x)=(−x)⊗x=1 .
3 ⊗ 3_\otimes 3⊗ 结合律 R \mathbb{R} R 中的任何元素 x , y , z x,y,z x,y,z 满足 x ⊗ ( y ⊗ z ) = ( x ⊗ y ) ⊗ z x\otimes(y\otimes z)=(x\otimes y)\otimes z x⊗(y⊗z)=(x⊗y)⊗z .
4 ⊗ 4_\otimes 4⊗ 交换律 R \mathbb{R} R 的任何元素 x , y x,y x,y 满足 x ⊗ y = y ⊗ x x\otimes y=y\otimes x x⊗y=y⊗x .
集合 1 ∈ R − { 0 } 1\in \mathbb{R}-\{0\} 1∈R−{0} 相对于乘法运算是乘法群 .
加法与乘法的联系公理
乘法相对于加法满足分配律，即 ∀ x , y , z ∈ R \forall x,y,z\in \mathbb{R} ∀x,y,z∈R , ( x ⊕ y ) ⊗ z = ( x ⊗ z ) ⊕ ( y ⊗ z ) (x\oplus y)\otimes z=(x\otimes z)\oplus (y\otimes z) (x⊕y)⊗z=(x⊗z)⊕(y⊗z)
根据乘法的交换律，还有 x ⊗ ( y ⊕ z ) = ( x ⊗ y ) ⊕ ( x ⊗ z ) x\otimes (y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus (x\otimes z) x⊗(y⊕z)=(x⊗y)⊕(x⊗z)
如果在某集合 G G G 上定义了满足上述全部公理的两种运算，则称 G G G 为代数域 ，简称域
序公理
R \mathbb{R} R 的元素之间存在关系 ≤ \leq ≤ , 即对于 R \mathbb{R} R 中的任何两个元素，可以确定 x ≤ y x\leq y x≤y 是否成立 . 这时，需要满足以下条件：
0 ≤ 0_\leq 0≤ 自反性 ∀ x ∈ R ( x ≤ x ) \forall x\in\mathbb{R}(x\leq x) ∀x∈R(x≤x)
1 ≤ 1_\leq 1≤ 反对称性 ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ x ) ⇒ x = y (x\le y)\wedge(y\le x)\Rightarrow x=y (x≤y)∧(y≤x)⇒x=y
2 ≤ 2_\leq 2≤ 传递性 ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ z ) ⇒ ( x ≤ z ) (x\leq y)\wedge(y\leq z)\Rightarrow (x\leq z) (x≤y)∧(y≤z)⇒(x≤z)
3 ≤ 3_\leq 3≤ 可比性 ∀ x , y ∈ R ( x ≤ y ) ∨ ( y ≤ x ) \forall x,y\in \mathbb{R}(x\le y)\vee(y\le x) ∀x,y∈R(x≤y)∨(y≤x)
R \mathbb{R} R 中的关系 ≤ \leq ≤ 称为不等关系 .
满足 0 ≤ , 1 ≤ , 2 ≤ 0_\leq,1_\leq,2_\leq 0≤,1≤,2≤ ，称为偏序集 . 进一步满足 3 ≤ 3_\leq 3≤ 的，称为线性序集 .
实数集 R \mathbb{R} R 是线性序集 .
加法与序关系的联系公理
R \mathbb{R} R 中的任何元素 x , y , z x,y,z x,y,z 满足 ( x ≤ y ) ⇒ ( x ⊕ z ≤ y ⊕ z ) (x\le y)\Rightarrow (x\oplus z\leq y\oplus z) (x≤y)⇒(x⊕z≤y⊕z) .
乘法与序关系的联系公理
R \mathbb{R} R 中的任何元素 x , y x,y x,y 满足 ( 0 ≤ x ) ∧ ( 0 ≤ y ) ⇒ ( 0 ≤ x ⊗ y ) (0\leq x)\wedge(0\leq y)\Rightarrow (0\leq x\otimes y) (0≤x)∧(0≤y)⇒(0≤x⊗y)
完备性/连续性公理
如果 X X X 与 Y Y Y 是 R \mathbb{R} R 的非空子集，并且对于任何元素 x ∈ X x\in X x∈X , y ∈ Y y\in Y y∈Y , 都有 x ≤ y x\le y x≤y , 则存在 c ∈ R c\in \mathbb{R} c∈R , 使得对于任何元素 x ∈ X x\in X x∈X 和 y ∈ Y y\in Y y∈Y 都有 x ≤ c ≤ y x\leq c\leq y x≤c≤y .
实数模型
满足以上所有公理的集合 R \mathbb{R} R 是实数的一种表示，即通常所说的实数模型 .
可以出以上公理推导出很多实数的其他性质 .
对于任何抽象公理系统，应该首先考虑两个问题：
- 存在性 公理是否相容？具体的说，满足系统中所有公理的集合是否存在？这称之为公理系统的无矛盾性问题
- 唯一性 公理系统是否唯一地定义了一个数学对象？从逻辑学的角度，该公理系统是否是范畴的？
唯一性的含义是：
假设有两套独立建设的满足公理系统的实数模型 R A \mathbb{R}_A RA 和 R B \mathbb{R}_B RB ，则在 R A \mathbb{R}_A RA 和 R B \mathbb{R}_B RB 之间可以建立保持算数运算与序关系的双射 f : R A → R B f:\mathbb{R}_A\to \mathbb{R}_B f:RA→RB , 它满足
- f ( x ⊕ y ) = f ( x ) ⊕ f ( y ) f(x\oplus y)=f(x)\oplus f(y) f(x⊕y)=f(x)⊕f(y)
- f ( x ⊗ y ) = f ( x ) ⊗ f ( y ) f(x\otimes y)=f(x)\otimes f(y) f(x⊗y)=f(x)⊗f(y)
- x ≤ y ⇔ f ( x ) ≤ f ( y ) x\le y\Leftrightarrow f(x)\le f(y) x≤y⇔f(x)≤f(y)
在数学观点下，这时 R A \mathbb{R}_A RA 和 R B \mathbb{R}_B RB 只是实数的不同的完全等价的表示模型（例如， R A R_A RA 为十进制无穷小数， R B R_B RB 为数轴上的点）. 称之为同构表示 . 称映射 f f f 为同构映射 .
上面的两个问题都是具有肯定答案的，但证明过程比较复杂 . 在后面的章节里会涉及 .
实数的某些一般的代数性质
加法公理的推论
在实数集中只由唯一的零元素
证明：
如果 0 1 0_1 01 和 0 2 0_2 02 都是 R \mathbb{R} R 的零元素 . 根据零元素的定义得 0 1 = 0 1 ⊕ 0 2 = 0 2 0_1=0_1\oplus 0_2=0_2 01=01⊕02=02
在实数集中，每个元素的相反元素唯一
证明：
假设 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 都是 x x x 的相反元素 ，则有 x 1 = x 1 ⊕ 0 = x 1 ⊕ ( x ⊕ x 2 ) = ( x 1 ⊕ x ) ⊕ x 2 = 0 ⊕ x 2 = x 2 x_1=x_1\oplus 0=x_1\oplus(x\oplus x_2)=(x_1\oplus x)\oplus x_2=0\oplus x_2=x_2 x1=x1⊕0=x1⊕(x⊕x2)=(x1⊕x)⊕x2=0⊕x2=x2
方程 a ⊕ x = b a\oplus x=b a⊕x=b 在 R \mathbb{R} R 中有唯一解 x = b ⊕ ( − a ) x=b\oplus(-a) x=b⊕(−a) .
证明：
a a a 有唯一的相反元素 − a -a −a .
a ⊕ x = b ⇔ − a ⊕ a ⊕ x = − a ⊕ b ⇔ x = b ⊕ ( − a ) a\oplus x = b\Leftrightarrow -a\oplus a\oplus x=-a\oplus b\Leftrightarrow x = b\oplus (-a) a⊕x=b⇔−a⊕a⊕x=−a⊕b⇔x=b⊕(−a)
表达式 b ⊕ ( − a ) b\oplus (-a) b⊕(−a) 可以简写为 b − a b-a b−a . 这就是减法的来源 .
乘法公理的推论
在实数集中只有唯一的单位元素
每个实数 x ≠ 0 x\ne 0 x=0 只有唯一的逆元素 x − 1 x^{-1} x−1
方程 a ⊗ x = b a\otimes x=b a⊗x=b 在 a ∈ R − { 0 } a\in \mathbb{R}-\{0\} a∈R−{0} 时有唯一解 x = b ⊗ a − 1 x=b\otimes a^{-1} x=b⊗a−1
证明过程类似加法公理的推论
b ⊗ a − 1 b\otimes a^{-1} b⊗a−1 可以简写为 b ÷ a b\div a b÷a . 这就是除法的来源 .
加法与乘法的联系公理的推论
对于任何的 x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R , 有 x ⊗ 0 = 0 ⊗ x = 0 x\otimes 0=0\otimes x=0 x⊗0=0⊗x=0
证明：
x ⊗ 0 = x ⊗ ( 0 ⊕ 0 ) = ( x ⊗ 0 ) ⊕ ( x ⊗ 0 ) ⇒ x ⊗ 0 = ( x ⊗ 0 ) + ( − ( x ⊗ 0 ) ) = 0 x\otimes 0=x\otimes (0\oplus 0)=(x\otimes 0)\oplus(x\otimes 0)\Rightarrow x\otimes 0=(x\otimes 0)+(-(x\otimes 0))=0 x⊗0=x⊗(0⊕0)=(x⊗0)⊕(x⊗0)⇒x⊗0=(x⊗0)+(−(x⊗0))=0
x ⊗ y = 0 ⇒ ( x = 0 ) ∨ ( y = 0 ) x\otimes y=0\Rightarrow (x=0)\vee(y=0) x⊗y=0⇒(x=0)∨(y=0)
证明：
假设 y ≠ 0 y\ne 0 y=0 , 则存在 y − 1 y^{-1} y−1 , 则 x = 0 ⊗ y − 1 = 0 x=0\otimes y^{-1}=0 x=0⊗y−1=0
对于任何的 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R , − x = ( − 1 ) ⊗ x -x=(-1)\otimes x −x=(−1)⊗x
证明：
− x = 0 ⊕ ( − x ) = ( 1 ⊕ ( − 1 ) ) ⊗ x ⊕ ( − x ) -x=0\oplus (-x)=(1\oplus(-1))\otimes x\oplus (-x) −x=0⊕(−x)=(1⊕(−1))⊗x⊕(−x)
= 1 ⊗ x ⊕ ( − 1 ) ⊗ x ⊕ ( − x ) = x ⊕ ( − x ) ⊕ ( − 1 ) ⊗ x = 0 ⊕ ( − 1 ) ⊗ x = ( − 1 ) ⊗ x =1\otimes x\oplus(-1)\otimes x\oplus (-x) =x\oplus (-x)\oplus (-1)\otimes x=0\oplus (-1)\otimes x=(-1)\otimes x =1⊗x⊕(−1)⊗x⊕(−x)=x⊕(−x)⊕(−1)⊗x=0⊕(−1)⊗x=(−1)⊗x
对于任何的 x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R , 有 ( − 1 ) ⊗ ( − x ) = x (-1)\otimes(-x)=x (−1)⊗(−x)=x
证明：
( − 1 ) ⊗ ( − x ) = − ( − x ) = − ( − x ) ⊕ ( ( − x ) ⊕ x ) = 0 ⊕ x = x (-1)\otimes (-x)=-(-x)=-(-x)\oplus((-x)\oplus x)=0\oplus x=x (−1)⊗(−x)=−(−x)=−(−x)⊕((−x)⊕x)=0⊕x=x
对于任何的 x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R , ( − x ) ⊗ ( − x ) = x ⊗ x (-x)\otimes(-x)=x\otimes x (−x)⊗(−x)=x⊗x
( − x ) ⊗ ( − x ) = ( − 1 ) ⊗ x ⊗ ( − x ) = ( − 1 ) ⊗ ( − x ) ⊗ x = x ⊗ x (-x)\otimes(-x)=(-1)\otimes x\otimes (-x)=(-1)\otimes (-x)\otimes x=x\otimes x (−x)⊗(−x)=(−1)⊗x⊗(−x)=(−1)⊗(−x)⊗x=x⊗x
序公理的推论
x ≠ y x\ne y x=y 时 x ≤ y x\le y x≤y 又可写作 x < y x<y x<y , 称为严格小于 .
对于任何 x , y ∈ R x,y\in \mathbb{R} x,y∈R , 在以下关系中恰好只有一个关系成立： x < y , x = y , y < x x<y,\ x=y,\ y<x x<y, x=y, y<x
由公理 1 ≤ 1_\leq 1≤ 和 3 ≤ 3_\leq 3≤ 及严格小于的定义可得
对于 R \mathbb{R} R 中的任何数 x , y , z x,y,z x,y,z , 有
( x < y ) ∧ ( y ≤ z ) ⇒ ( x < z ) (x<y)\wedge(y\leq z)\Rightarrow (x<z) (x<y)∧(y≤z)⇒(x<z)
( x ≤ y ) ∧ ( y < z ) ⇒ ( x < z ) (x\le y)\wedge(y< z)\Rightarrow (x< z) (x≤y)∧(y<z)⇒(x<z)
- ( x < y ) ∧ ( y ≤ z ) ⇒ ( x ≤ y ) ∧ ( x ≠ y ) ∧ ( y ≤ z ) ⇒ ( x ≤ z ) ∧ ( x ≠ y ) (x<y)\wedge(y\leq z)\Rightarrow (x\le y)\wedge(x\ne y)\wedge(y\le z)\Rightarrow (x\le z)\wedge(x\ne y) (x<y)∧(y≤z)⇒(x≤y)∧(x=y)∧(y≤z)⇒(x≤z)∧(x=y)
假设 x = z x=z x=z , 则有 z ≤ x z\le x z≤x , 进而有 y ≤ x y\le x y≤x , 推出 x = y x=y x=y , 产生矛盾
故 ( x ≤ z ) ∧ ( x ≠ z ) ⇒ x < z (x\le z)\wedge(x\ne z)\Rightarrow x<z (x≤z)∧(x=z)⇒x<z .
加法，乘法和序关系的联系公理的推论
对于 R \mathbb{R} R 中的任何数 x , y , z , w x,y,z,w x,y,z,w
( x < y ) ⇒ ( x ⊕ z ) < ( y ⊕ z ) (x<y)\Rightarrow (x\oplus z)<(y\oplus z) (x<y)⇒(x⊕z)<(y⊕z)
( 0 < x ) ⇒ ( − x < 0 ) (0<x)\Rightarrow (-x<0) (0<x)⇒(−x<0)
( x ≤ y ) ∧ ( z ≤ w ) ⇒ ( x ⊕ z ) ≤ ( y ⊕ w ) (x\le y)\wedge(z\le w)\Rightarrow (x\oplus z)\le (y\oplus w) (x≤y)∧(z≤w)⇒(x⊕z)≤(y⊕w)
( x ≤ y ) ∧ ( z < w ) ⇒ ( x ⊕ z < y ⊕ w ) (x\le y)\wedge(z<w)\Rightarrow (x\oplus z<y\oplus w) (x≤y)∧(z<w)⇒(x⊕z<y⊕w)
- x < y ⇒ ( x ≤ y ) ∧ ( x ≠ y ) ⇒ ( ( x ⊕ z ) ≤ ( y ⊕ z ) ) ∧ ( x ≠ y ) x<y\Rightarrow (x\le y)\wedge(x\ne y)\Rightarrow ((x\oplus z)\le (y\oplus z))\wedge(x\ne y) x<y⇒(x≤y)∧(x=y)⇒((x⊕z)≤(y⊕z))∧(x=y)
设 ( x ⊕ z ) = ( y ⊕ z ) (x\oplus z)= (y\oplus z) (x⊕z)=(y⊕z) , 则 x = y ⊕ z ⊕ ( − z ) = y x=y\oplus z\oplus(-z)=y x=y⊕z⊕(−z)=y . 产生矛盾 .
-
0 < x ⇒ 0 ⊕ ( − x ) < x ⊕ ( − x ) ⇒ − x < 0 0<x\Rightarrow 0\oplus (-x)<x\oplus (-x)\Rightarrow -x<0 0<x⇒0⊕(−x)<x⊕(−x)⇒−x<0
-
x ≤ y ⇒ x ⊕ z ≤ y ⊕ z ≤ y ⊕ w x\le y\Rightarrow x\oplus z\le y\oplus z\le y\oplus w x≤y⇒x⊕z≤y⊕z≤y⊕w
-
类似
对于 R \mathbb{R} R 中的任何数 x , y , z x,y,z x,y,z
( 0 < x ) ∧ ( 0 < y ) ⇒ ( 0 < x ⊗ y ) (0<x)\wedge(0<y)\Rightarrow (0<x\otimes y) (0<x)∧(0<y)⇒(0<x⊗y)
( x < 0 ) ∧ ( y < 0 ) ⇒ ( 0 < x ⊗ y ) (x<0)\wedge(y<0)\Rightarrow (0<x\otimes y) (x<0)∧(y<0)⇒(0<x⊗y)
( x < 0 ) ∧ ( 0 < y ) ⇒ ( x ⊗ y < 0 ) (x<0)\wedge(0<y)\Rightarrow (x\otimes y<0) (x<0)∧(0<y)⇒(x⊗y<0)
( x < y ) ∧ ( 0 < z ) ⇒ ( x ⊗ z < y ⊗ z ) (x<y)\wedge(0<z)\Rightarrow (x\otimes z<y\otimes z) (x<y)∧(0<z)⇒(x⊗z<y⊗z)
( x < y ) ∧ ( z < 0 ) ⇒ ( y ⊗ z < x ⊗ z ) (x<y)\wedge(z<0)\Rightarrow (y\otimes z<x\otimes z) (x<y)∧(z<0)⇒(y⊗z<x⊗z)
- ( 0 < x ) ∧ ( 0 < y ) ⇒ ( 0 ≤ x ) ∧ ( 0 ≤ y ) ∧ ( x ≠ 0 ) ∧ ( y ≠ 0 ) (0<x)\wedge(0<y)\Rightarrow (0\le x)\wedge(0\le y)\wedge(x\ne 0)\wedge(y\ne 0) (0<x)∧(0<y)⇒(0≤x)∧(0≤y)∧(x=0)∧(y=0)
由乘法与与关系的联系公理得， 0 ≤ x ⊗ y 0\le x\otimes y 0≤x⊗y
设 x ⊗ y = 0 x\otimes y=0 x⊗y=0 , 则 x = 0 ⊗ y − 1 = 0 x=0\otimes y^{-1}=0 x=0⊗y−1=0 . 产生矛盾 .
- x < 0 ⇒ ( − x ) ⊕ x < − x ⇒ 0 < − x x<0\Rightarrow (-x)\oplus x<-x\Rightarrow 0<-x x<0⇒(−x)⊕x<−x⇒0<−x
同理得 0 < − y 0<-y 0<−y . 故 0 < ( − x ) ⊗ ( − y ) = ( − x ) ⊗ ( − 1 ) ⊗ y = x ⊗ y 0<(-x)\otimes (-y)=(-x)\otimes (-1)\otimes y=x\otimes y 0<(−x)⊗(−y)=(−x)⊗(−1)⊗y=x⊗y
-
x < 0 ⇒ 0 < − x ⇒ 0 < ( − x ) ⊗ y ⇒ 0 < ( − 1 ) ⊗ ( x ⊗ y ) ⇒ x ⊗ y < 0 x<0\Rightarrow 0<-x\Rightarrow 0<(-x)\otimes y\Rightarrow 0<(-1)\otimes(x\otimes y)\Rightarrow x\otimes y<0 x<0⇒0<−x⇒0<(−x)⊗y⇒0<(−1)⊗(x⊗y)⇒x⊗y<0
-
x < y ⇒ 0 < y ⊕ ( − x ) ⇒ 0 < ( y ⊕ ( − x ) ) ⊗ z ⇒ x ⊗ z < y ⊕ z x<y\Rightarrow 0<y\oplus(-x) \Rightarrow 0<(y\oplus (-x))\otimes z\Rightarrow x\otimes z<y\oplus z x<y⇒0<y⊕(−x)⇒0<(y⊕(−x))⊗z⇒x⊗z<y⊕z
0 < 1 0<1 0<1
首先 1 ∈ R − { 0 } 1\in \mathbb{R}-\{0\} 1∈R−{0} , 故 0 ≠ 1 0\ne 1 0=1
设 1 < 0 1<0 1<0 , 则 ( 1 < 0 ) ∧ ( 1 < 0 ) ⇒ 0 < 1 ⊗ 1 = 1 (1<0)\wedge(1<0)\Rightarrow 0<1\otimes 1=1 (1<0)∧(1<0)⇒0<1⊗1=1 . 产生矛盾
由序公理推论得， 0 < 1 0<1 0<1
( 0 < x ) ⇒ ( 0 < x − 1 ) (0<x)\Rightarrow (0<x^{-1}) (0<x)⇒(0<x−1)
( 0 < x ) ∧ ( x < y ) ⇒ ( 0 < y − 1 ) ∧ ( y − 1 < x − 1 ) (0<x)\wedge(x<y)\Rightarrow (0<y^{-1})\wedge(y^{-1}<x^{-1}) (0<x)∧(x<y)⇒(0<y−1)∧(y−1<x−1)
- 假设 x − 1 < 0 x^{-1}< 0 x−1<0 . 则 x ⊗ x − 1 < 0 ⇒ 1 < 0 x\otimes x^{-1} < 0\Rightarrow 1<0 x⊗x−1<0⇒1<0 . 产生矛盾 . 故 0 < x − 1 0<x^{-1} 0<x−1
- ( 0 < x ) ∧ ( x < y ) ⇒ 0 < y ⇒ 0 < y − 1 (0<x)\wedge(x<y)\Rightarrow 0<y\Rightarrow 0<y^{-1} (0<x)∧(x<y)⇒0<y⇒0<y−1
x ≠ y ⇒ x − 1 ≠ y − 1 x\ne y\Rightarrow x^{-1}\ne y^{-1} x=y⇒x−1=y−1 . 假设 x − 1 < y − 1 x^{-1}<y^{-1} x−1<y−1 , 则 1 < x ⊗ y − 1 ⇒ y < x 1<x\otimes y^{-1}\Rightarrow y<x 1<x⊗y−1⇒y<x . 产生矛盾 .
完备性公理与数集的上下确界的存在性
设集合 X ⊂ R X\subset \mathbb{R} X⊂R , 如果存在数 c c c , 使得对于任何 x ∈ X x\in X x∈X 都有 x ≤ c x\le c x≤c , 就说集合 X X X 是上有界集 . 如果存在数 c c c , 使得对于任何 x ∈ X x\in X x∈X 都有 x ≥ c x\ge c x≥c , 就说集合 X X X 是下有界集 .
既是上有界集又是下有界集的集合称为有界集 .
设 a a a 是集合 X ⊂ R X\subset \mathbb{R} X⊂R 的元素 . 如果对于任何的 x ∈ X x\in X x∈X , 都有 x ≤ c x\le c x≤c , 则称元素 a a a 为 X X X 的最大元素 . 如果对于任何的 x ∈ X x\in X x∈X , 都有 x ≥ c x\ge c x≥c , 则称元素 a a a 为 X X X 的最小元素 .
最大最小元素如果存在，则唯一 .
并不是所有集合都有最大最小元素 .
集合 X ⊂ R X\subset \mathbb{R} X⊂R 的上界中的最小者称为 X X X 的上确界 . 下界中的最大者称为 X X X 的下确界 .
上确界：是上界，再小就不是上界
下确界：是下界，再大就不是下界
上确界原理 X X X 不是空集，且有上界 ⇒ \Rightarrow ⇒ 存在上确界 sup X \sup X supX
下确界原理 X X X 不是空集，且有下界 ⇒ \Rightarrow ⇒ 存在下确界 inf X \inf X infX
设 X ⊂ R X\subset \mathbb{R} X⊂R 是给定的集合，而 Y = { y ∈ R ∣ ∀ x ∈ X ( x ≤ y ) } Y=\{y\in \mathbb{R}|\forall x\in X(x\le y)\} Y={y∈R∣∀x∈X(x≤y)} 是 X X X 的上界组成的集合 . 根据条件， X , Y X,Y X,Y 均非空 . 对于任何元素 x ∈ X x\in X x∈X , y ∈ Y y\in Y y∈Y , 都有 x ≤ y x\le y x≤y , 根据完备性公理，存在 c ∈ R c\in \mathbb{R} c∈R , 使得对于任何元素 x ∈ X x\in X x∈X 和 y ∈ Y y\in Y y∈Y 都有 x ≤ c ≤ y x\leq c\leq y x≤c≤y . 因此， c c c 既是 X X X 的上界，也是 Y Y Y 的下界 . c c c 是 X X X 的上界，说明 c ∈ Y c\in Y c∈Y . c c c 是 Y Y Y 的下界，说明 c c c 是 Y Y Y 的最小元素 . 即 c c c 是 X X X 的上确界 .
标签：公理,mathbb,le,实数,元素,leq,otimes,2.1,oplus From： https://blog.csdn.net/2401_86533141/article/details/140998427