外直积与内直积(External Direct Product & Internal Direct Product)\(\newcommand{\ord}{\text{ord}}\)
假设我们有两个群，它们可以是毫不相关的，记为\(H,K\)。我们可以用笛卡尔积的方式生成二元组的集合\(\bar G=H\times K=\{(h,k)\mid h\in H,k\in K\}\)。在\(\bar G\)上定义二元运算\((h_1,k_1)\circ (h_2,k_2)=(h_1h_2,k_1k_2)\)，可以验证\((\bar G,\circ)\)构成了群：封闭性成立；结合律继承\(H,K\)的结合律；单位元是\((e_H,e_K)\)；\((h,k)^{-1}=(h^{-1},k^{-1})\)。于是，\(\bar G=H\times K\)就称为\(H\)和\(K\)的外直积群。
外直积中元素的order可以直接由原先群中元素的order给出。由于外直积群中的运算是元素分别在原先的群中运算，对于\((h,k)\in \bar G\)，\(h\)将经过\(\ord(h)\)次与自己运算后回到本身，\(k\)经过\(\ord(k)\)次运算回到本身。因此\((h,k)\)第一次回到本身一定是在\(\text{lcm}(\ord(h),\ord(k))\)次运算以后，即\(\ord((h,k))=\text{lcm}(\ord(h),\ord(k))\)。
假如已知\(H,K\)是循环群，\(H\times K\)什么时候是循环群呢？我们有以下充分必要条件：如果\(H,K\)是循环群，则\(H\times K\)是循环群当且仅当\(\gcd(|H|,|K|)=1\)。设\(H=\lang a\rang,K=\lang b\rang\)。左推右，设\(H\times K=\lang (c,d)\rang\)，则\(\text{lcm}(\ord(c),\ord(d))=|H|\cdot |K|\)，而\(\ord(c)\leq |H|,\ord(d)\leq|K|\)，因此只能是\(\ord(c)=|H|,\ord(d)=|K|\)且\(\gcd(|H|,|K|)=1\)；右推左，\((a,b)\in H\times K\)，\(\ord((a,b))=\text{lcm}(|H|,|K|)=|H|\cdot|K|=|H\times K|\)，因此\((a,b)\)就是生成元，因此是循环群。
在外直积群中，有两个特殊的子群\(\bar H=\{(h,e_k)\mid h\in H\}\)和\(\bar{K}=\{(e_H,k)\mid k\in K\}\)。显然有\(\bar H\cong H,\bar K\cong K\)。进一步，它们是正规子群，有\(\bar H\unlhd \bar G,\bar K \unlhd \bar G\)：\(\forall (h,k)\in \bar G\)，\((h,k)(h',e_K)(h^{-1},k^{-1})=(hh'h^{-1},e_K)\in \bar H\)。还容易看出，\(\bar H\cap \bar K=\{(e_H,e_K)\}\)。于是，\(\bar G\)可以写成这两个集合的乘积\(\bar G=\bar H\bar K\)。我们能否抽象出外直积所具有的这些性质，从而对于任何\(G\)定义满足这些性质的子群\(H,K\preceq G\)之间的直积呢？这就是内直积。我们定义群\(G\)是其子群\(H,K\)的内直积（记为\(G=H\otimes K\)），当且仅当：① \(G=HK\)；② \(H,K\unlhd G\)；③ \(H\cap K=\{e\}\)。可见，内直积\(H\otimes K\)是比集合的乘积\(HK\)满足更丰富性质的一种群与群的运算。
内直积有一些十分重要的性质。假设\(G=H\otimes K\)。第一条性质是，\(\forall g\in G\)，若\(\exists h,h'\in H,k,k'\in K\)使得\(g=hk=h'k'\)，则\(h=h',k=k'\)。这说明，将\(G\)中元素表示成\(H\)中元素与\(K\)中元素的乘积的表示方法是唯一的，就好像向量空间中向量在基上的分解是唯一的，\(H,K\)就是满足这样唯一分解性质的一组基。证明：因为\(hk=h'k'\)，因此\(h'^{-1}h=k'k^{-1}\)。而\(h'^{-1}h\in H,k'k^{-1}\in K\)，它们相等，因此\(h'^{-1}h\in H\cap K\)，所以\(h'^{-1}h=e\)，也即\(h'=h\)。同理\(k'=k\)。第二条性质是，\(\forall h\in H,k\in K,hk=kh\)。这说明内直积分解以后，分属于两个集合内的元素相乘是可以交换顺序的。证明：要证\(hk(kh)^{-1}=hkh^{-1}k^{-1}=e\)，即证\(hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K\)。因为\(H\unlhd G\)，\(kh^{-1}k^{-1}\in H\)，因此\(h(kh^{-1}k^{-1})\in H\)；因为\(K\unlhd G\)，\(hkh^{-1}\in K\)，因此\((hkh^{-1})k^{-1}\in K\)。所以\(hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K\)。注意，性质一的证明中并没有用到正规子群的条件，它是\(G=HK\)与\(H\cap K=\{e\}\)产生的性质；性质二的证明中没有用到\(G=HK\)的条件，它是正规子群与\(H\cap K=\{e\}\)产生的性质。
我们证明，乘积唯一表示与可交换顺序（性质一与性质二）可以作为内直积的等价定义。也就是我们可以证明①②③\(\iff\)①’ ②’：①’ \(\forall g\in G\)都可以被\(h\in H,k\in K\)唯一表示为\(g=hk\)；②’ \(\forall h\in H,k\in K,hk=kh\)。左推右刚才我们已经证明了；右推左，\(\forall g\in G\)都可以被表示成\(hk\)，因此\(G\subseteq HK\)，而\(H,K\preceq G\)，因此\(HK\subseteq G\)，所以①成立。要证\(H\unlhd G\)，只需证\(\forall g\in G,h\in H\)都有\(ghg^{-1}\in H\)。而\(g\)可以唯一表示为\(h_0k_0\)，所以只需证\(ghg^{-1}=h_0k_0hk_0^{-1}h_0^{-1}\)，根据可交换的性质得\(h_0hk_0k_0^{-1}h_0^{-1}=h_0hh_0^{-1}\)，显然属于\(H\)；\(K\unlhd G\)同理，因此②成立。对于任意的\(w\in H\cap K\)，因为\(w=ew,e\in H,w\in K\)，同时\(w=we,w\in H,e\in K\)，根据唯一分解性质\(w=e\)，因此\(H\cap K=\{e\}\)，所以③成立。
对于\(G=H\otimes K\)，如果对\(H,K\)做外直积会得到什么？下面我们证明，\(G=H\otimes K\cong H\times K\)。为此，我们构造映射\(f:H\times K\to G\)，\(f((h,k))=hk\)。显然\(f\)是满射，根据内直积的唯一分解的性质\(f\)又是单射。\(f((h_1,k_1)(h_2,k_2))=f((h_1h_2,k_1k_2))=h_1h_2k_1k_2\)，根据内直积的交换性质得到\(h_1k_1h_2k_2=f((h_1,k_1))f((h_2,k_2))\)，因此\(f\)保运算。综上，\(f\)是同构映射。
多元的外直积与内直积
外直积和内直积的定义可以推广到多元的情形。设\(H_1,\cdots,H_n\)是\(n\)个群，那么定义它们的外直积群为\(\bar G=(H_1\times H_2\times\cdots \times H_n,\circ)\)，其中运算满足规则\((h_1,\cdots,h_n)(h_1',\cdots,h_n')=(h_1h_1',\cdots,h_nh_n')\)。同样的，令\(\bar H_i=\{(e_{H_1},\cdots,e_{H_{i-1}},h_i,e_{H_{i+1}},\cdots,e_{H_n})\mid h_i\in H_i\}\)，则\(\bar H_i\unlhd \bar G\)，\(\bar G=\bar H_1\bar H_2\cdots \bar H_n\)，\(\forall i\neq j,H_i\cap H_j=\{e_G\}\)。内直积的定义相应地可以推广到多元：\(G=H_1\otimes H_2 \otimes\cdots \otimes H_n\)当且仅当①\(G=H_1\cdots H_n\)；②\(H_i\unlhd G\) ③\(H_i\cap \prod\limits_{j\ne i}H_j=\{e\}\)。同样的我们可以证明\(G=H_1\otimes H_2 \otimes\cdots \otimes H_n \cong\)\(H_1\times \cdots \times H_n\)。
对于多元的内直积的定义，我们可以证明在①和②成立的前提下，③也与如下的④和⑤等价：④ \(H_i\cap \prod\limits_{j<i}H_j=\{e\}\)；⑤ \(\forall g\in G\)都可以唯一表示为\(g=h_1h_2\cdots h_n\)，其中\(h_i\in H_i\)。③\(\implies\)④：显然\(\prod\limits_{j<i}H_j\subseteq \prod\limits_{j\neq i}H_j\)，因此\(H_i\cap \prod\limits_{j<i}H_j\subseteq \{e\}\)，而显然\(e\)在其中；④\(\implies\)⑤：那么如果\(g=h_1\cdots h_n=h_1'\cdots h_n'\)，那么\((h_1'\cdots h_{n-1}')^{-1}h_1\cdots h_{n-1}=h_n'h_n^{-1}\)，左侧是\(\prod\limits_{j<n}H_i\)中的元素，右侧是\(H_n\)中的元素，因此\((h_1'\cdots h_{n-1}')^{-1}h_1\cdots h_{n-1}=h_n'h_n^{-1}=e\)，于是我们得到\(h_n=h_n',h_1\cdots h_{n-1}=h_1'\cdots h_{n-1}'\)。不断迭代，最终得到\(h_i=h_i'\)。⑤\(\implies\)③：\(\forall w\in H_i\cap \prod\limits_{j\ne i}H_j\)，\(w=e\cdots e\cdot w\cdot e\cdots e\)，\(w\in H_i\)。而因为\(w\in \prod\limits_{j\ne i}H_j\)，因此存在\(h_j,j\neq i\)满足\(w=h_1\cdots h_{i-1}\cdot e\cdot h_{i+1}\cdots h_n\)。这样我们就得到了\(w\)的两种表示法，根据表示的唯一性一定有\(w=e\)，因此\(H_i\cap \prod\limits_{j\ne i}H_j=\{e\}\)。
对于任意\(j<i\)，因为\(H_j\subseteq \prod\limits_{j<i}H_j\)，我们用同样的论证可以立即得到\(H_i\cap H_j=\{e\}\)，同时\(H_i,H_j\unlhd G\)，我们用与二元时完全相同的论证可以得到\(\forall h_i\in H_i,h_j\in H_j,h_ih_j=h_jh_i\)。
有限交换群的直积分解
对于有限交换群\(G\)，设\(|G|=p_1^{m_1}\cdots p_t^{m_t}\)，我们证明我们总能做以下的内直积分解：\(G=H_1\otimes \cdots \otimes H_t\)，其中\(H_i\)是\(G\)的Sylow \(p_i\)-子群。并且由于在交换群中，群的共轭是其本身，所有Sylow子群都是唯一的，也就说明以上的内直积分解方式是唯一的。
在交换群中，任何两个子群的乘积依然是子群，因此\(G'=H_1\cdots H_t\preceq G\)。下面我们先证明\(G'=H_1\otimes \cdots \otimes H_t\)。首先，\(G'\)是交换群。在交换群里，内直积的等价定义中的⑤可以弱化为⑤’：单位元\(e\)可以被唯一表示。因为假如\(e\)能被唯一表示，那么\(\forall g=h_1\cdots h_n=h_1'\cdots h_n'\)，由交换群可得\((h_1h_1'^{-1})(h_2h_2'^{-1})\cdots (h_nh_n'^{-1})=e\)，而\(e=e\cdots e\cdots e\)是唯一的表示，因此\(h_i=h_i'\)。证毕。那么，我们要证在\(G'\)中，单位元能唯一分解。假设\(e=h_1\cdots h_t,h_i\in H_i\)，那么\(\ord(h_i)\mid p_i^{m_i}\)，可以设\(\ord(h_i)=p_i^{k_i}\)，\(k_i\leq m_i\)。那么\(h_i\)的阶两两互素。我们下面归纳证明，在交换群中，阶两两互素的一列元素相乘等于单位元，则这些元素必定都等于单位元本身：\(\forall m,e=g_1\cdots g_m\)，且\(\forall i,j,\gcd(\ord(g_i),\ord(g_j))=1\)，则\(g_i=e\)。\(m=1\)时显然成立；假设\(m-1\)时已经成立，设\(\ord(g_m)=t_m\)，则\(e^{t_m}=(g_1\cdots g_m)^{t_m}\)，因为是交换群，这就等于\(g_1^{t_m}\cdots g_{m-1}^{t_m}\)，其中\(g_m^{t_m}=e\)。根据归纳假设，\(g_i^{t_m}=e,i<m\)。而\(\ord(e)=\ord(g_i^{t_m})=\dfrac{\ord(g_i)}{\gcd(\ord(g_i),t_m)}=\ord(g_i)\)，因此\(g_i=e\)。证毕。而在交换群中，所有子群都是正规子群。综上，\(G'=H_1\otimes \cdots \otimes H_t\)成立。而\(G'\cong H_1\times \cdots \times H_t\)，因此\(|G'|=|H_1|\cdots |H_t|=p_1^{m_1}\cdots p_t^{m_t}=|G|\)，因此\(G'=G\)。证毕。
\(p\)-群的分解
循环\(p\)-群不可分
所以对于有限交换群，我们一定可以把它写成Sylow \(p\)-群的内直积。那么我们自然追问，Sylow \(p\)-群能否被进一步内直积分解呢？分解的终点（最小单位）是什么呢？也就是说我们要讨论什么样的群是不能被直积分解的。下面我们证明（并不要求交换群）大小为素数\(p\)的幂次的循环群（循环\(p\)-群）是不能被直积分解的。循环群就是这样一个分解的最小单位。
如果循环\(p\)-群\(G=\lang g_0\rang\)能被内直积分解为\(\lang g_1\rang \otimes \lang g_2\rang\)，设\(|G|=p^m,\ord(g_1)=p^{m_1},\ord(g_2)=p^{m_2},m_1\leq m_2<m=m_1+m_2\)。于是\(\forall g\in G\)，\(g\)能被唯一表示为\(g_1^{t_1}g_2^{t_2}\)，那么\(g^{p^{m_2}}=(g_1^{t_1}g_2^{t_2})^{p^{m_2}}=g_1^{t_1p^{m_2}}\)，而\(p^{m_1}\mid t_1p^{m_2}\)，因此\(g_1^{t_1p^{m_2}}=e\)，因此\(g^{p^{m_2}}=e\)。而\(p^{m_2}<p^m\)，与\(|G|=p^m\)矛盾。因此循环\(p\)-群不能被直积分解。
分解为循环\(p\)-群
下面我们证明，有限交换群中的\(p\)-群一定能分解成若干循环群的内直积。设交换群\(|G|=p^m\)，则一定成立\(G=\lang g_1\rang \otimes \cdots\otimes \lang g_k\rang\)，且这种分解在同构意义下是唯一的。
任何一个群都有一个生成元集（循环群的生成元集大小为1）。对于有限交换\(p\)-群，我们取出生成元集中元素个数最少且其中每个元素的阶之和最小的那个生成元集，记为\(\{g_1,\cdots,g_k\}\)，其中设\(\ord(g_i)=p^{r_i}\)。我们claim \(G=\lang g_1\rang \otimes \cdots\otimes \lang g_k\rang\)。反证法，如果\(G\neq \lang g_1\rang \otimes \cdots\otimes \lang g_k\rang\)，，，，，，
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