线性代数--向量

向量

n个数a1 a2 ...... an组成的有序数组(a1 a2 ... ... an) a1..又称为分量 维数

• 行向量
• 列向量
  只是形式不同
• 零向量
  分量全是0
• 负向量
  相反数
• 两个向量相等
  同维向量
• 向量相加减
  k是数 另一个是向量
  

向量间的线性关系

线性关系：用某些向量能表示一个向量

线性组合：
$$\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n是m维向量，若存在k_1,k_2,\dots ,k_n,使\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n成立，\beta 是\alpha 向量组的线性组合，或者是\beta 可以由\alpha 向量组线性表示$$
$$k_1,k_2,\dots ,k_n叫组合系数，可以全取0$$
线性组合转化成方程组是否有解？ 能不能找到一组系数满足上式

1. 零向量可由任意向量组来表示
   $$O=0\times {\alpha }_1+0\times {\alpha }_2+\cdots +0\times {\alpha }_n$$
2. 向量组中的任意向量可有向量组表示
   $${\alpha }_3=0\times {\alpha }_1+0\times {\alpha }_2+1\times {\alpha }_3+\cdots +0\times {\alpha }_n$$
3. 任意向量都可由
   $${\epsilon }_1=(1,0,\dots 0){\epsilon }_2=(0,1,\dots 0)\dots {\epsilon }_n=(0,0,\dots 1)$$
   来表示 又称n维单位向量组
   $$(1,2,3)=1\times (1,0,0)+2\times (0,1,0)+3\times (0,0,1)$$

向量组等价

两个向量组是同维的，可以相互表示

线性相关与线性无关

无关：

1. 向量组中两向量成比例 相关

2. 含有零向量的任意向量组 相关

3. 一个零向量必线性相关

4. 任意一个非零向量必线性无关

5. 

6. 
   部分组线性相关，整体组也线性相关
   逆否命题：
   整体组线性无关推出部分组线性无关

7. 线性无关的向量组，接长向量组也线性无关
   线性相关的向量组，截短向量组也线性相关
   

8. 向量的个数等于向量的维数才能用
   n个n维向量
   D不等于0的充要条件线性无关
   D等于0的充要条件线性相关

9. n维单位向量组 线性无关
   

• 线性组合和线性相关定理

1. $${\alpha }_1\dots {\alpha }_s相关\iff 至少一个向量可由其余向量表示$$
   
2. $${\alpha }_1\dots {\alpha }_s无关,{\alpha }_1\dots {\alpha }_s\beta 相关,\beta 可由{\alpha }_1\dots {\alpha }_s唯一表示$$
   证明可表示：
   
   证明唯一性：
   
3. 替换
   $${\alpha }_1\dots {\alpha }_s无关,可由{\beta }_1\dots {\beta }_t线性表示,则s\le t$$
   逆否命题：
   $${\alpha }_1\dots {\alpha }_s可由{\beta }_1\dots {\beta }_t来表示时,如果s>t,则{\alpha }_1\dots {\alpha }_s相关$$
4. m > n,m个n维向量相关 向量个数>向量维数时， 一定是线性相关
   n+1个n维向量线性相关
   推论： 两个等价的线性无关组，含向量个数时相同的

向量组的秩

极大线性无关组含有向量的个数

• 极大线性无关组：可以不唯一，但是含有向量的个数一样多

定理：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2是极大线性无关组$$

1. 向量组α1，α2线性无关
2. 极大：找线性无关的向量组的向量个数是最大的

性质

1. 向量组α1，α2线性无关
2. 任意r+1个变量都是线性相关的
   全是零向量：秩=0
   注：n+1个n维向量线性无关
   
3. 
4. 若两个向量组等价， 秩相等

矩阵的行秩和列秩

• 定理：

1. 矩阵的行秩 === 列秩 === 矩阵的秩
2. r(AB) <= min
3. 对矩阵A仅作初等行变换，化成矩阵B,那么矩阵A的列向量组同矩阵B的列向量组有完全相同的线性关系
   简述--初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
   线性关系：线性无关，相关，线性表示