1. \(2a+3b=2\)，求 \(ab_{\max}\)

解：\(\dfrac{2a+3b}{2}=1\)，故 \(\dfrac{2a+3b}{2}\ge \sqrt{2a\times 3b}\).

推得 \(\sqrt{6ab}\le 1\)，即 \(ab\le \dfrac{1}{6}\).

当 \(a=\dfrac{1}{2},b=\dfrac{1}{3}\) 时取等。

2. \(x>3\)，求 \((2x+\frac{3}{x-3})_{\min}\)

解：\(2(x-3)+\dfrac{3}{x-3}+6\ge 2\sqrt{2(x-3)\times\dfrac{3}{x-3}}+6=2\sqrt 6 + 6\)

当 \(2(x-3)=\dfrac{3}{x-3}\) 时，即 \(x=3+\dfrac{\sqrt 6}{2}\) 取等。

配凑大法。

3. \(a+b=1(a>0,b>0)\)，求 \((\frac{1}{a}+\frac{1}{b})_{\min}\)

解：\((a+b)\times (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2\ge 2\sqrt{\dfrac{b}{a}\times\dfrac{a}{b}}+2=4\)

当 \(a=b=\dfrac{1}{2}\) 时取等。

凑“1”大法。

所求最小值为常数，即 \(0\) 次。\(a+b=1\) 为 \(1\) 次，\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) 为 \(-1\) 次，相乘即为 \(0\) 次。

4. \(a+2b=2ab\)，求 \((a+b)_{\min}\)

解：\(\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{a}=1\).

\((a+b)\times 1=(a+b)\times \dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{3}{2}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{2b}\times\dfrac{b}{a}}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}+\sqrt 2\).

当 \(a=1+\sqrt 2-\dfrac{\sqrt 5}{2},b=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\) 时取等。

\(1\) 次多项式 = \(2\) 次多项式，可以构造出 \(-1\) 次多项式 = \(1\)。使 "\(1\)" 成为任意次数多项式之间建立联系的桥梁。

最后要求 \(0\) 次的最大值（常数）。只要将构造出来的 \(-1\) 次多项式乘上 \(1\) 次多项式即可。

5. \(a+b=1(a>0,b>0)\)，求 \((\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{ab})_{\min}\)

解：\(\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{2(a+b)}{b}+\dfrac{(a+b)^2}{ab}=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{2a}{b}+2+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{2b}{a}\times\dfrac{3a}{b}}+5=5+\sqrt6\).

当 \(a=\)