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线性空间与线性变换
线性空间
- 线性空间V中线性无关的向量组所含向量的最大个数称为V的维数，记为 d i m V = n dimV=n dimV=n
- 维数是 n 的线性空间称为数域 K 上的 n 维线性空间 V n , n = + ∞ 时，称为无限维线性空间。 维数是n的线性空间称为数域K上的n维线性空间V^n,n=+\infty时，称为无限维线性空间。 维数是n的线性空间称为数域K上的n维线性空间Vn,n=+∞时，称为无限维线性空间。
- 线性空间的维数是一个重要的概念，它描述了构成该线性空间所需的最少非零向量的个数。这里，我们通过一个例题来具体说明如何理解和计算线性空间的维数。
- 线性空间的维数描述了线性空间中独立向量的最大数量，也就是生成该空间所需的最少向量数。
- 下面通过一个具体的例题来说明线性空间维数的概念及计算方法。
以下由文心一言自动生成
- 例题1
设 V V V 是实数域 R R R 上所有形如 ( a b c ) \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} abc
的三阶列向量组成的集合，其中 a , b , c a, b, c a,b,c 满足条件 a + b + c = 0 a + b + c = 0 a+b+c=0。试证明 V V V 是一个线性空间，并求出 V V V
的维数。第一步：证明 V V V 是一个线性空间
- 零向量属于 V V V：显然，零向量 ( 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 000 满足 0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 0 = 0 0+0+0=0，因此属于 V V V。
- 向量加法封闭：设 α = ( a b c ) , β = ( x y z ) ∈ V \alpha = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in V α= abc ,β= xyz ∈V，则 a + b + c = 0 a + b + c = 0 a+b+c=0 且 x + y + z = 0 x + y + z = 0 x+y+z=0。那么 α + β = ( a + x b + y c + z ) \alpha + \beta = \begin{pmatrix} a + x \\ b + y \\ c + z \end{pmatrix} α+β= a+xb+yc+z ，且 ( a + x ) + ( b + y ) + ( c + z ) = ( a + b + c ) + ( x + y + z ) = 0 + 0 = 0 (a + x) + (b + y) + (c + z) = (a + b + c) + (x + y + z) = 0 + 0 = 0 (a+x)+(b+y)+(c+z)=(a+b+c)+(x+y+z)=0+0=0，因此 α + β ∈ V \alpha + \beta \in V α+β∈V。
- 数乘封闭：设 α = ( a b c ) ∈ V \alpha = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in V α= abc ∈V， k ∈ R k \in R k∈R，则 k α = ( k a k b k c ) k\alpha = \begin{pmatrix} ka \\ kb \\ kc \end{pmatrix} kα= kakbkc ，且 k a + k b + k c = k ( a + b + c ) = k ⋅ 0 = 0 ka + kb + kc = k(a + b + c) = k \cdot 0 = 0 ka+kb+kc=k(a+b+c)=k⋅0=0，因此
k α ∈ V k\alpha \in V kα∈V。由以上三点可知， V V V 是一个线性空间。
第二步：求 V V V 的维数
为了求 V V V 的维数，我们需要找到 V V V 的一组基。注意到 a + b + c = 0 a + b + c = 0 a+b+c=0 可以改写为 c = − a − b c = -a - b c=−a−b。因此， V V V 中的任意向量都可以表示为 ( a b − a − b ) = a ( 1 0 − 1 ) + b ( 0 1 − 1 ) \begin{pmatrix} a \\ b \\ -a - b \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ab−a−b =a 10−1 +b 01−1 。
容易验证， ( 1 0 − 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} 10−1 和 ( 0 1 − 1 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} 01−1 是线性无关的（即不存在不全为0的实数 k 1 , k 2 k_1, k_2 k1,k2 使得
k 1 ( 1 0 − 1 ) + k 2 ( 0 1 − 1 ) = ( 0 0 0 ) k_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} k1 10−1 +k2 01−1 = 000 ）。同时，它们可以线性表示 V V V 中的任意向量。因此， ( 1 0 − 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} 10−1 和 ( 0 1 − 1 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} 01−1 是 V V V 的一组基，且 V V V 的维数为2。
- 例题2
设 V V V 是由 R 3 \mathbb{R}^3 R3（三维实数空间）中所有形如 ( x y x + y ) \begin{pmatrix} x \\ y \\ x+y \end{pmatrix} xyx+y 的向量组成的集合，试判断 V V V 是否为 R 3 \mathbb{R}^3 R3 的子空间，并求 V V V 的维数。
解答
步骤1：判断 V V V 是否为 R 3 \mathbb{R}^3 R3 的子空间
要证明 V V V 是 R 3 \mathbb{R}^3 R3 的子空间，需要验证 V V V 满足子空间的三个条件：
- 零向量属于 V V V（显然，当 x = y = 0 x=y=0 x=y=0 时，零向量 ( 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 000 属于 V V V）。
- V V V 中向量的线性组合仍在 V V V 中。设 α = ( x 1 y 1 x 1 + y 1 ) , β = ( x 2 y 2 x 2 + y 2 ) ∈ V \alpha = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ x_1+y_1 \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} \in V α= x1y1x1+y1 ,β= x2y2x2+y2 ∈V，对于任意实数 k , l k, l k,l，有 k α + l β = k ( x 1 y 1 x 1 + y 1 ) + l ( x 2 y 2 x 2 + y 2 ) = ( k x 1 + l x 2 k y 1 + l y 2 k ( x 1 + y 1 ) + l ( x 2 + y 2 ) ) = ( k x 1 + l x 2 k y 1 + l y 2 ( k x 1 + l x 2 ) + ( k y 1 + l y 2 ) ) ∈ V k\alpha + l\beta = k\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ x_1+y_1 \end{pmatrix} + l\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx_1 + lx_2 \\ ky_1 + ly_2 \\ k(x_1+y_1) + l(x_2+y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx_1 + lx_2 \\ ky_1 + ly_2 \\ (kx_1 + lx_2) + (ky_1 + ly_2) \end{pmatrix} \in V kα+lβ=k x1y1x1+y1 +l x2y2x2+y2 = kx1+lx2ky1+ly2k(x1+y1)+l(x2+y2) = kx1+lx2ky1+ly2(kx1+lx2)+(ky1+ly2) ∈V 因此， V V V 是 R 3 \mathbb{R}^3 R3 的子空间。
步骤2：求 V V V 的维数
为了找到 V V V 的维数，我们需要找到 V V V 中的一个最大线性无关向量组。
观察 V V V 中的向量形式 ( x y x + y ) \begin{pmatrix} x \\ y \\ x+y \end{pmatrix} xyx+y ，可以发现这个向量只由
x x x 和 y y y 两个自由变量决定。因此，我们可以选择两个线性无关的向量作为 V V V 的基。例如，选择 ( 1 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 101 和 ( 0 1 1 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 011 ，它们显然线性无关，并且能够生成 V V V 中的任意向量（通过线性组合）。因此， V V V 的维数是 2。
总结
通过这个例题，我们不仅学会了如何判断一个集合是否为线性空间的子空间，还学会了如何计算一个线性空间的维数。关键在于找到该空间的一个最大线性无关向量组，其向量的个数即为该空间的维数。
- 最大线性无关组
最大线性无关组（也称为极大线性无关组）是代数中线性相关与线性无关中的基本概念。它指的是一个向量组中，由最多个线性无关的向量组成的部分，且从这一向量组中任意添一向量，这个部分组就线性相关。这一组向量能够完全表示原向量组中的所有向量，且不存在冗余。
1.最大线性无关组不是唯一的，但每个最大线性无关组所含向量的个数是唯一的，这个数称为向量组的秩
2. 任意一个最大线性无关组都与原向量组等价，即它们可以互相线性表出。
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最大线性无关组的计算计算最大线性无关组的方法主要有以下几种：
根据定义判断：
- 逐个检查向量组中的向量，看是否存在一个由部分向量组成的子集，该子集线性无关，且向量组中其他向量都可以由该子集中的向量线性表示。
初等行变换法：
- 将向量组作为矩阵的列向量，对矩阵进行初等行变换（包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数），直到矩阵变为行阶梯形或行最简形。此时，非零行的首非零元所在的列对应的原向量组中的向量就构成了一个最大线性无关组。
具体过程如下：
构造矩阵：以所给向量组为矩阵A的列向量，构造矩阵A。
进行初等行变换：对矩阵A进行初等行变换（包括交换两行、倍乘一行、倍加一行到另一行），直到能看出变换矩阵中列向量组的一个最大无关组为止。
确定最大无关组：变换后，非零行的非零首元所在的列对应的原向量组中的向量就构成了一个最大线性无关组。逐个删去法：
- 对于所给向量组中的向量，按某种顺序（如从左到右）逐个检查，如果某个向量可以由其前面的向量线性表示，则删去该向量。最后剩下的向量组就是一个最大线性无关组。
例子1
设有向量组A： α 1 = ( 2 , 4 , 6 ) ， α 2 = ( 1 , 2 , 3 ) ， α 3 = ( 1 , 0 , 1 ) α_1=(2, 4, 6)，α_2=(1, 2, 3)，α_3=(1, 0, 1) α1=(2,4,6)，α2=(1,2,3)，α3=(1,0,1)。
显然 α 2 和 α 3 α_2和α_3 α2和α3线性无关（因为不存在不全为零的数使得α₁的倍数加上α₂的倍数等于零向量）。
同时， α 1 可以由 α 2 和 α 3 线性表示 ( 例如 α 1 = 2 × α 1 − 0 × α 2 ) α_1可以由α_2和α_3线性表示(例如α_1=2\timesα_1-0\timesα_2) α1可以由α2和α3线性表示(例如α1=2×α1−0×α2)。
因此，向量组 A 0 ： α 2 和 α 3 A_0：α_2和α_3 A0：α2和α3就是A的一个最大线性无关组。实质上 a 1 和 a 3 a_1和a_3 a1和a3也是A的一个最大线性无关组
例子2
题目：求向量组α₁=(1, 2, 3)，α₂=(2, 4, 6)，α₃=(3, 6, 9)的一个最大线性无关组。
解答：
观察法：直接观察可知，α₂是α₁的两倍，α₃是α₁的三倍，因此α₁, α₂, α₃线性相关,所以， α 1 或 a 2 或 a 3 α_1或a_2或a_3 α1或a2或a3是该向量组的一个最大线性无关组。
初等行变换法：
- 将向量组作为矩阵的列向量，得到矩阵A=[[1, 2, 3]; [2, 4, 6]; [3, 6, 9]]。
- 对A进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵。但在这个例子中，由于向量之间存在明显的倍数关系，我们可以直接判断。不过，为了展示过程，可以想象对A进行变换，最终会发现只有一行是非零的，非零行的非零首元所在的列对应的原向量组中的向量就构成了一个最大线性无关组，最大线性无关组是其中任意一个向量。
逐个删去法：
- 由于α₂是α₁的两倍，α₃是α₁的三倍，我们可以直接删去α₂和α₃（或保留其中一个与α₁一起构成最大线性无关组），得到α₁作为最大线性无关组的一个元素。但通常我们会保留两个线性无关的向量，所以答案是α₁,
α₂。注意：在实际操作中，应根据具体情况选择合适的方法。在这个例子中，观察法是最直接且有效的方法。
例子3
- 初等行变换法是在矩阵运算和线性代数中常用的一种方法，主要用于简化矩阵、求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆等。
初等行变换主要包括以下三种基本操作：
- 交换两行：选择矩阵中的任意两行，然后交换它们的位置。
- 倍乘一行：将矩阵中的某一行的所有元素都乘以一个非零实数。
- 倍加一行到另一行：将矩阵中的某一行的所有元素乘以一个数，然后加到另一行上。
以下由文心一言自动生成
例子设有一个矩阵A：
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A= 147258369
- 交换两行：将第一行和第二行交换，得到矩阵B。
B = [ 4 5 6 1 2 3 7 8 9 ] B = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} B= 417528639
- 倍乘一行：将矩阵B的第二行所有元素乘以2，得到矩阵C。
C = [ 4 5 6 2 4 6 7 8 9 ] C = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} C= 427548669
- 倍加一行到另一行：将矩阵C的第二行乘以-1，然后加到第一行上，得到矩阵D。
D = [ 4 − 2 5 − 4 6 − 6 2 4 6 7 8 9 ] = [ 2 1 0 2 4 6 7 8 9 ] D = \begin{bmatrix} 4 - 2 & 5 - 4 & 6 - 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} D= 4−2275−4486−669 = 227148069
例题
题目：使用初等行变换法将矩阵A化为行最简形。 A = [ 1 2 3 2 4 6 1 2 0 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} A= 121242360
解答：
- 第一步：使用倍加一行到另一行的操作，将第二行减去第一行的两倍，得到新的第二行。
[ 1 2 3 0 0 0 1 2 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} 101202300
（注意：这里实际操作后第二行应为[0, 0,
0]，但为了继续展示过程，我们假设第二行有其他非零元素未完全消去，实际操作中应继续处理直到第二行变为[0, 0, 0]或其他行最简形。）
- 第二步（假设上一步未完全消去）：继续使用倍加一行到另一行的操作，将第三行减去第一行，得到新的第三行。
[ 1 2 3 0 0 0 0 0 − 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} 10020030−3
（注意：这里为了示例，假设了第二行未完全变为零行的情况。在实际操作中，可能需要多次使用倍加操作来完全消去某些元素。）
- 第三步：使用倍乘一行的操作，将第三行的所有元素除以-3，得到：
[ 1 2 3 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100200301
此时，矩阵A已经化为行最简形。
注意：上述例题中的第二步是假设性的，因为在实际操作中，第二步可能会直接通过倍加操作将第二行或第三行（或两者）化为零行或更简单的形式。此外，初等行变换的具体步骤和顺序可能因问题而异，但基本思想是通过交换、倍乘和倍加操作来简化矩阵。
参考文献
1.文心一言
2.《矩阵论》第三版